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l’énergie

d’où résulte pour $\varphi$ , qui est égal à ${\frac {1}{g_{0}}}\,f^{\prime }$ :

\varphi (\xi )\equiv e^{\alpha \xi }

.

Introduisons dans (II) ces expressions de $f$ et $\varphi$ ; nous obtenons, après division par ${\tfrac {g_{0}}{\alpha }}$ (ce qui réserve le cas de $\alpha$ nul) :

2\left(e^{\alpha v^{\,\prime \,2}}-1\right)e^{\alpha v^{2}}\equiv \left(e^{\alpha v_{1}^{\,\prime \,2}}-1\right)+\left(e^{\alpha v_{2}^{\,\prime \prime \,2}}-1\right)-2\left(e^{\alpha v^{2}}-1\right)

ou, après simplifications évidentes

2e^{\alpha \left(v^{2}+v^{\,\prime \,2}\right)}\equiv e^{\alpha v_{1}^{\,\prime \prime \,2}}+e^{\alpha v_{2}^{\,\prime \prime \,2}}

.

Or, en première approximation, les $v^{\prime }$ étant parallèles aux $v$

v_{1}^{\,\prime \prime }=v+v^{\prime }\quad ;\quad v_{2}^{\,\prime \prime }=v-v^{\prime }

ce qui donne pour l’équation précédente :

2=e^{2\alpha vv^{\prime }}+e^{-2\alpha vv^{\prime }}

vérifiée seulement pour $e^{2\alpha vv^{\prime }}$ égal à 1, donc précisément pour $\alpha$ nul. Mais alors $f^{\prime }$ est égal à la constante $g_{0}$ et $f(x)$ à $g_{0}x$ en même temps que $\varphi$ devient égal à 1 : nous retombons sur le cas singulier réservé. Cette solution seule possible convient en effet, les équations de Langevin, (y remplacer les $v^{\,\prime \prime }$ en fonction des $v$ et $v^{\prime }$ ) étant alors vérifiées.

Ainsi, pour de faibles vitesses, $\varphi$ est égal à 1, ce qui signifie que la calorie en mouvement coûte le même prix que la calorie en repos. D’autre part, $f\left(v^{2}\right)$ est égal à $g_{0}v^{2}$ (qu’on peut écrire $mv^{2}\!/2$ ), ce qui signifie que l’énergie cinétique est pour un objet donné proportionnelle au carré de la vitesse. Nous retrouvons la loi d’abord obtenue (V, 7) en supposant connue la loi de la chute des corps, puis établie (V, 31) en combinant déjà, de façon différente, le Principe de relativité avec la règle de composition des « faibles » vitesses.

49. Expression de l’énergie cinétique valable pour toute vitesse réalisable. — Combinons maintenant, en seconde approximation le Principe d’Équivalence et la formule générale de composition des vitesses.

Nous avons à voir ce que deviennent alors les équations fonctionnelles de Langevin.