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l’énergie

où $v^{\,\prime \prime }$ est la vitesse résultant de la composition des vitesses parallèles $\pm \;v$ et $\pm \;v^{\,\prime }$.

Ces équations fonctionnelles (I) et (II) obtenues par application du Principe d’Équivalence vont déterminer les fonctions $f$ et $\varphi$ si nous tenons compte de la formule de composition des vitesses. En première approximation nous utiliserons la formule établie (I, 23) dans l’hypothèse où la notion de simultanéité est valable ; en seconde approximation (grandes vitesses) nous utiliserons la formule générale d’Einstein (III, 8).

48. Valeur de l’énergie cinétique pour de faibles vitesses. — En première approximation, nous avons, pour $v^{\,\prime \prime }$ résultante de vitesses rectangulaires $v$ et $v^{\,\prime }$

$v^{\,\prime \prime \,2}=v^{2}+v^{\,\prime \,2}$.

L’identité (I) devient donc :

$f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})\equiv f(v^{2}+v^{\,\prime \,2})-f(v^{2})$

c’est-à-dire, si nous écrivons $\xi$ au lieu de $(v^{2})$ et $\eta$ au lieu de $v^{\,\prime \,2}$

$f(\eta )\varphi (\xi )\equiv f(\xi +\eta )-f(\xi )$.

Dérivons par rapport à $\eta$, nous obtenons :

$f^{\,\prime }(\eta )\varphi (\xi )\equiv f^{\,\prime }(\xi +\eta )$

qui impose en particulier :

$f^{\,\prime }(0)\varphi (\xi )\equiv f^{\,\prime }(\xi )$

d’où résulte que l’équation précédente peut s’écrire :

$f^{\,\prime }(\eta )f^{\,\prime }(\xi )\equiv f^{\,\prime }(\xi +\eta )f^{\,\prime }(0)$.

Hors le cas singulier, provisoirement réservé, où $f^{\,\prime }$ serait une constante $k$ auquel cas $f(\xi )$ serait égal à $k\xi$ et $\varphi (\xi )$ identiquement égal à 1, cette équation (où l’on reconnaît l’équation qui définit la fonction exponentielle) n’est vérifiée que par la fonction

(g0arbitraire).

$f^{\prime }(x)=g_{0}\,e^{\alpha x}$

($g_{0}$ arbitraire).

Intégrant, et tenant compte de ce que l’énergie cinétique $f(\xi )$ est nulle pour $\xi$ nul, on trouve

$f(\xi )\equiv {\frac {g_{0}}{\alpha }}\,\left(e^{\alpha \xi }-1\right)$