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l’énergie

Or (les $v^{\prime }$ étant parallèles aux $v$) il faut écrire (Einstein) :

$v_{1}^{\prime \prime }={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}\;;\quad v_{2}^{\prime \prime }={\frac {v-v^{\prime }}{1-{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}$

en sorte que

$1-{\frac {v_{1}^{\prime \prime 2}}{c^{2}}}={\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{\prime 2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}\right)^{2}}}$

$1-{\frac {v_{2}^{\prime \prime 2}}{c^{2}}}={\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{\prime 2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1-{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}\right)^{2}}}$

et notre équation (II) devient donc, après division par le facteur commun $\left(1-{\frac {v^{\prime 2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }$ :

$2\equiv {\frac {1}{\left(1+{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}\right)^{2\alpha }}}+{\frac {1}{\left(1-{\frac {vv^{\prime }}{c^{2}}}\right)^{2\alpha }}}$

équation du type connu :

$(1+r)^{-2\alpha }+(1-r)^{-2\alpha }\equiv 2$

qui n’est vérifiée (avec $r$ différent de zéro) que si $\alpha$ est nul ou égal à $\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)$comme on voit en dérivant par rapport à $m$.

L’hypothèse, déjà réservée, de $\alpha$ nul, entraînerait $\varphi$ égal à 1 et $f(v^{2})$ égal à $\mathrm {G_{0}} (\xi )$. Mais alors l’équation II, (y exprimer les $v^{\prime \prime }$ en $v$ et $v^{\prime }$ par les formules d’Einstein), n’est pas vérifiée. Reste donc seule possible pour $\alpha$ la valeur $\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)$ ce qui entraîne :

${\begin{aligned}\varphi (v^{2})&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\f(v^{2})&=-2\mathrm {G_{0}} \left[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right]\end{aligned}}$

expressions qui vérifient en effet les équations de Langevin.