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l’énergie

L’énergie cinétique $\mathrm {E}$, égale à $f(v^{2})$ peut donc s’écrire, développant en série :

$2\mathrm {G_{0}} \left[\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1/2}-1\right]=-2\mathrm {G_{0}} \left[{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}+\ldots \right]$

qui pour $v$ petit se réduit au premier terme $-\mathrm {G_{0}} {\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}$ lequel doit alors se confondre avec ${\tfrac {1}{2}}m{v}^{2}$ de sorte que :

$-2\mathrm {G_{0}} =mc^{2}$

et que l’énergie cinétique de la masse $m$ animée de la vitesse $v$ est donnée pour toute vitesse par la formule

$\mathrm {E} =mc^{2}\left[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right]$

qui se réduit bien à ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ pour ${\tfrac {v}{c}}$ petit, comme on voit en développant en série $\left(1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$, et qui devient infinie quand $v$ tend vers $c$.

Nous avons ainsi obtenu l’expression de l’énergie cinétique pour les grandes vitesses, énergie qui devient infinie quand la vitesse du mobile tend vers celle de la Lumière. Cela s’accorde avec l’impossibilité (II, 26) que la Matière puisse atteindre la vitesse de la Lumière.

Sur cette même formule, nous voyons que, même aux plus grandes vitesses, les énergies cinétiques de deux mobiles qui ont même vitesse sont entre elles comme leurs masses : s’il a fallu 3 fois plus de peine pour communiquer à un mobile $\mathrm {M} '$ une certaine vitesse que pour la communiquer à un mobile $\mathrm {M}$, il faudra se donner 3 fois plus de peine dans le cas de n’importe quelle autre vitesse, si grande soit-elle. La masse définie aux faibles vitesses mesure pour toute vitesse la capacité d’énergie cinétique et sa définition comme telle (38) subsiste alors que la définition par la loi d’inertie aurait pu présenter des difficultés. La masse garde pour toute vitesse sa signification essentielle. On voit pourquoi nous n’avons pas voulu adopter les expressions de « masse longitudinale » et « masse transversale ».