brownien est parfaitement irrégulier à angle droit de la verticale[1], on peut prouver que le déplacement horizontal moyen d'un grain devient seulement double quand la durée du déplacement devient quadruple, et ainsi de suite. C'est-à-dire que le carré moyen du déplacement horizontal est proportionnel à la durée t de ce déplacement.
Or ce carré moyen est égal à deux fois le carré moyen X2 de la projection du déplacement sur un axe horizontal arbitraire. Donc, pour un grain donné, la valeur moyenne du quotient X^2/t demeure constante. Évidemment d'autant plus grand que le grain est plus agité, ce quotient moyen caractérise l'activité du mouvement brownien (à la température choisie et dans le fluide considéré).
Toujours en supposant uniquement que le mouvement brownien est parfaitement irrégulier, Einstein montre qu'il y a « diffusion » pour les grains d'une émulsion, comme pour les molécules d'une solution, et que pour une émulsion de grains égaux, le coefficient D de diffusion est égal à la moitié du nombre qui mesure l'activité de l'agitation :
D'autre part, nous avons vu que, dans une colonne verticale d'émulsion, le régime permanent se crée et se maintient par le jeu de deux actions antagonistes, pesanteur et mouvement brownien : Ce qu'on peut exprimer en écrivant que en chaque niveau le débit par diffusion vers les régions pauvres égale celui que provoque la pesanteur vers les régions riches.
Pour calculer le débit par diffusion, il faut admettre, comme nous l'avons fait, que grains ou molécules s'équivalent en ce qui regarde les pressions osmotiques[2]; pour calculer celui que provoque la pesanteur, dans le cas de sphérules de rayon a, il faut admettre que la vitesse moyenne de chute (très faible) reste calculable comme dans le cas de la chute uniforme, dans un fluide visqueux, d'une grosse sphère pratiquement non animée de mouvement brownien[3]. Moyennant quoi, Einstein trouve :
- ↑ Il ne l'est pas dans la direction verticale, à cause de la pesanteur.
- ↑ Ce qui, pour Einstein, résulte des idées de Boltzmann sur l'équipartition de l’énergie.
- ↑ Selon une formule de Stokes qui égale la force motrice (poids de la sphère) à la force de frottement 6*p*a*z*v (z étant la viscosité et v la vitesse de chute). Cette extension pourrait sembler discutable, car la vitesse (vraie) d'agitation du granule doit être de l'ordre d'un million de fois sa vitesse moyenne de chute. Mais, en fait, je l'ai vérifiée par l'expérience (C.R., 1908).
