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ET SES APPLICATIONS À L’ASTRONOMIE.

III.

14.Einstein a été peu à peu conduit à une extension considérable de sa première théorie. Reprenons le $ds^{2}$ envisagé plus haut :

(5)

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},$

Si, au lieu des coordonnées $x,y,z,t$, nous faisons usage de coordonnées généralisées $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$, de telle sorte que $x,y,z,t$ soient des fonctions de $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$, $ds^{2}$ deviendra une expression de la forme

(6)

$ds^{2}=\textstyle \sum g_{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}\qquad (g_{ik}=g_{ki})\;(i,k=1,2,3,4).$

les $g$ étant des fonctions de $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ ; on peut, par exemple, supposer que $x_{1},x_{2},x_{3}$ sont des coordonnées curvilignes dans l’espace ordinaire et $x_{4}$ une coordonnée relative à une horloge chargée seulement de définir l’ordre de succession des événements autour du point ${(x_{1},x_{2},x_{3})}$. À l’Univers envisagé se trouve ainsi attachée une certaine forme (6).

Prenons maintenant la question en sens inverse, et donnons-nous arbitrairement dix fonctions $g_{ik}$ de $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ et, par suite, la forme quadratique (6) de différentielles. Un problème se pose d’abord : peut-on de (6) remonter à (5) en prenant pour les $x_{i}$ des fonctions convenables de $x,y,z,t$ ? La réponse est négative : la chose n’est possible que si les $g$ satisfont à vingt relations renfermant les $g$ et leurs dérivées partielles jusqu’au second ordre. Si ces conditions