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LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ

sont remplies, on dit que l’Univers correspondant à (6) est euclidien^[1] ; il en est ainsi, en particulier, quand les $g$ sont des constantes.

Supposons-nous maintenant dans le cas général, où l’Univers donné par (6) n’est pas euclidien. Nous considérons alors en un point déterminé, d’ailleurs quelconque, de cet Univers un Univers euclidien qui lui soit tangent. Voici ce qu’on entend par là. Le point étant donné, la forme quadratique (6) est une forme quadratique des $dx_{i}$ à coefficients constants. On peut alors choisir $dx,dy,dz,dt$ fonctions linéaires et homogènes de $dx_{1},dx_{2},dx_{3},dx_{4}$, de telle sorte que (5) se transforme en (6). Notre Univers initial a été ainsi transformé en un Univers euclidien, mais seulement dans le voisinage du point envisagé : cet Univers euclidien est l’Univers tangent en ce point.

Dans les univers euclidiens tangents aux divers points, supposons, pour fixer les idées, que les observateurs prennent pour unité de longueur une certaine

1. Avec plus de précision, une forme telle que (6) est dite euclidienne quand elle est susceptible d’être ramenée à la forme
   $d\mathrm {X} _{1}^{2}+d\mathrm {X} _{2}^{2}+d\mathrm {X} _{3}^{2}+d\mathrm {X} _{4}^{2}$

   les $\mathrm {X}$ étant des fonctions des $x$, la transformation étant complexe aussi bien que réelle ; ceci correspond à ce que Riemann appelait espace plan. Si l’on reste dans le domaine réel, certains carrés pourront être précédés du signe moins ; c’est ce qui arrive pour la forme (5), et il peut arriver alors que toutes les variables ne jouent pas le même rôle, tel le temps dans cette dernière forme. Aussi faut-il parler d’analogie et non d’identité entre l’espace et le temps.