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sur l’origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre

où $k$ est une constante positive (dépendant de la conductibilité du mur et de sa chaleur spécifique).

Considérons la fonction

$u={\frac {dv}{dx}}.$

Cette fonction satisfera évidemment à la même équation aux dérivées partielles

(2)

${\frac {du}{dt}}=k{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$

Comme, pour $t=0,$ on a

$v=$	$\mathrm {V} \quad$	pour $x>0,$
$v=$	$-\mathrm {V} \quad$	pour $x<0$ ;

la fonction $u$ satisfera, pour $t=0$ aux conditions initiales suivantes :

$u$	$=0$	pour $x>0,$
$u$	$=0$	pour $x<0,$
$u$	$=\infty \quad$	pour $x=0.$

Il faut donc trouver une fonction $u$, de $x$ et de $t,$ qui satisfasse à l’équation (2) et qui, pour $t$ tendant vers 0, tende elle-même vers 0 quel que soit $x,$ sauf pour $x=0,$ valeur pour laquelle elle tend vers l’infini. Il est facile de voir que la fonction

(3)

$u={\frac {\mathrm {A} }{\sqrt {t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4kt}}}$

satisfait à toutes ces conditions, $\mathrm {A}$ étant une constante.

On aura alors

$v=\int _{0}^{x}u\,dx=\mathrm {A} \int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4kt}}}\,dx.$

Pour déterminer la constante $\mathrm {A}$, nous écrivons que, pour $x=+\infty ,$ le refroidissement ne s’est pas encore fait sentir et que la température est égale à $\mathrm {V}$ :

$\mathrm {V} =\mathrm {A} \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{4kt}}}d\left({\frac {x}{\sqrt {t}}}\right)\,;$