Poisson, Lord Kelvin suppose que la Terre aurait autrefois parcouru des espaces chauds où elle aurait pris, dans toute sa masse, une certaine température uniforme, et que, étant arrivée ensuite dans des espaces plus froids, elle aurait commencé à se refroidir. C’est ce refroidissement que nous voulons étudier.
Prenons donc une sphère homogène dont la température initiale, à l’époque est uniforme et partout égale à et plaçons-la dans un milieu indéfini à température zéro[1]. La sphère va se refroidir par sa surface, celle-ci prenant par hypothèse la même température zéro que le milieu avec lequel elle est en contact.
Comme le rayon de la sphère terrestre est très grand, nous le supposerons infini. Le problème se ramènera ainsi à celui qu’on désigne souvent, d’après Fourier, sous le nom de problème du mur indéfini se refroidissant par contact : deux milieux I et II sont séparés par un plan ; le milieu I sera la Terre, le milieu II l’espace céleste et le plan sera le plan du sol. Prenons pour axe des une perpendiculaire à ce plan séparateur, dirigée vers l’intérieur du milieu I, ce plan séparateur ayant alors lui-même pour équation
Il s’agit de déterminer la température du milieu I (fonction de et de définie pour et ), sachant que pour cette température est uniforme et égale à et que pour la température superficielle (pour ) est .
La fonction n’est définie que pour mais nous pourrons compléter sa définition pour en convenant de prendre pour une fonction impaire de
alors la fonction (si elle est continue) s’annulera bien pour comme nous le voulons.
L’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait est celle de Fourier
- ↑ C’est-à-dire que nous prenons pour zéro des températures la température du milieu supposée uniforme et constante.
