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hypothèse de m. du ligondès

Posons

$\mathrm {U} =\sum m\left(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}+z{\frac {dz}{dt}}\right)$

et

$\mathrm {V} =\sum m\left(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} \right),$

les sommes $\textstyle \sum$ s’étendant à toutes les molécules. La quantité $\mathrm {V}$ s’appelle le viriel du système.

Calculons ${\frac {d\mathrm {U} }{dt}}$ :

${\frac {d\mathrm {U} }{dt}}\!=\!\sum \!m\!\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\!\!+\!\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\!\!+\!\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]\!+\!\sum \!m\!\left(x{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\!+\!y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\!+\!z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right).$

La première somme $\textstyle \sum$ n’est autre que la force vive $2\mathrm {T} ,$ la seconde somme n’est autre que le viriel $\mathrm {V} .$ On a donc

(4)

${\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=2\mathrm {T} +\mathrm {V} .$

Supposons que tous les points restent à distance finie et que leurs vitesses restent aussi finies : dans ce cas $\mathrm {U}$ sera toujours fini. Prenant les valeurs moyennes des deux membres de l’équation (4) pendant un intervalle de temps très long $t_{0}-t_{1},$ il vient

${\frac {1}{t_{1}-t_{0}}}(\mathrm {U} _{1}-\mathrm {U} _{0})={\text{moyenne de }}(2\mathrm {T} +\mathrm {V} ).$

Or, $\mathrm {U} _{1},\,\mathrm {U} _{0}$, valeurs de $\mathrm {U}$ aux époques $t_{1},$ $t_{0}$, sont finies, et $t_{1}-t_{0}$ est aussi grand qu’on le veut. On peut donc dire que pendant un temps très long la valeur moyenne du second membre est nulle : ce que nous écrivons, en surmontant les lettres d’un trait pour indiquer qu’il s’agit de valeurs moyennes,

(5)

$2{\overline {\mathrm {T} }}+{\overline {\mathrm {V} }}=0.$

Tel est le théorème du viriel.

75.Faisons d’abord l’application de ce théorème à un gaz renfermé dans un vase. Étant données deux molécules gazeuses m₁ et m₂, leur viriel a pour expression

$(x_{1}\mathrm {X} _{1}+y_{1}\mathrm {Y} _{1}+z_{1}\mathrm {Z} _{1})+(x_{2}\mathrm {X} _{2}+y_{2}\mathrm {Y} _{2}+z_{2}\mathrm {Z} _{2}).$