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hypothèses cosmogoniques

Le point

$p_{1},\,p_{2},\,\dots \,\,p_{n}$

représentatif des vitesses de notre système est donc situé sur cette sphère. Et comme la densité $\rho '$ à la surface de cette sphère est constante, nous pouvons dire que la probabilité, pour que ce point représentatif soit situé dans une certaine région R de cette sphère, est proportionnelle à la surface de cette région R.

Quelle est alors la probabilité pour que $p_{1}$ soit compris entre $p_{1}^{0}$ et $p_{1}^{0}+dp_{1}^{0}$ ? Nous n’aurons qu’à prendre comme région R la zone découpée sur la sphère par les deux plans

$p_{1}=p_{1}^{0},\qquad \,p_{1}=p_{1}^{0}+dp_{1}^{0}\,;$

et la probabilité cherchée sera proportionnelle à la surface de cette zone, surface que nous allons évaluer. Appelons $r$ le rayon de notre sphère à $n-1$ dimensions. Ce rayon est défini par

$\sum p_{i}^{2}=r^{2}\,;$

et nous posons

$r^{2}=nk^{2},$

$n$ étant le nombre des molécules ; la constante $k^{2}$ sera alors la moyenne arithmétique de tous les $p_{i}^{2}$. Si nous posons

$p_{1}^{0}=r\cos \theta ,$

la surface de la zone en question sera proportionnelle à

$\sin ^{n-2}\theta \,d\theta ,$

c’est-à-dire à

$\sin ^{n-3}\theta \,dp_{1}^{0}.$

Mais nous avons

${\begin{aligned}\sin ^{2}\theta &=1-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{r^{2}}},\\&=1-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{nk^{2}}}\,;\end{aligned}}$

par suite nous pouvons représenter la surface de notre zone par

$\mathrm {A} \left(1-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{nk^{2}}}\right)^{\frac {n-3}{2}}\,dp_{1}^{0}\,;$