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hypothèses cosmogoniques
Le point
![{\displaystyle p_{1},\,p_{2},\,\dots \,\,p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a117f79f81fe904ec50e46567db6501d6a741717)
représentatif des vitesses de notre système est donc situé sur cette
sphère. Et comme la densité
à la surface de cette sphère est constante, nous pouvons dire que la probabilité, pour que ce point représentatif soit situé dans une certaine région R de cette sphère, est proportionnelle à la surface de cette région R.
Quelle est alors la probabilité pour que
soit compris entre
et
? Nous n’aurons qu’à prendre comme région R la zone découpée sur la sphère par les deux plans
![{\displaystyle p_{1}=p_{1}^{0},\qquad \,p_{1}=p_{1}^{0}+dp_{1}^{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ace43579ab2194374b72d43ac3a4ab981201d1)
et la probabilité cherchée sera proportionnelle à la surface de cette
zone, surface que nous allons évaluer. Appelons
le rayon de notre
sphère à
dimensions. Ce rayon est défini par
![{\displaystyle \sum p_{i}^{2}=r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561e3586dd6e5cda74752d15c92c2b94b31f02be)
et nous posons
![{\displaystyle r^{2}=nk^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0c29a0d3addbd22b1dd42f9844757c779055c2)
étant le nombre des molécules ; la constante
sera alors la
moyenne arithmétique de tous les
. Si nous posons
![{\displaystyle p_{1}^{0}=r\cos \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45bc6d3836c866fcd5df61d06a649b8de86dd473)
la surface de la zone en question sera proportionnelle à
![{\displaystyle \sin ^{n-2}\theta \,d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afbcaca871422a393b9c193ba7441254685372d)
c’est-à-dire à
![{\displaystyle \sin ^{n-3}\theta \,dp_{1}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b09fe2cfcd5b825347dd40bf96a09e1af0cb18)
Mais nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta &=1-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{r^{2}}},\\&=1-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{nk^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668785d8da094101d549fd5be97d976eaa406ca4)
par suite nous pouvons représenter la surface de notre zone par
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(1-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{nk^{2}}}\right)^{\frac {n-3}{2}}\,dp_{1}^{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ed83d59adaf4c68032222eddf4302319033152)