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hypothèse de m. du ligondès

cette expression représente aussi la probabilité pour que $p_{1}$ soit compris entre $p_{1}^{0}$ et $p_{1}^{0}+dp_{1}^{0}.$ Comme $n$ est très grand, par hypothèse, on peut écrire approximativement^[1]

\left(1-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{nk^{2}}}\right)^{\frac {n-3}{2}}=e^{-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{2k^{2}}}},

ce qui donne à la probabilité la forme

\mathrm {A} \,e^{-{\frac {{p_{1}^{0}}^{2}}{2k^{2}}}}\,dp_{1}^{0}.

Telle est l’expression de la loi de Maxwell sur la répartition des vitesses des molécules gazeuses^[2].

Le point

p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n},

étant situé sur la sphère

\sum p_{i}^{2}=\,{\text{const.}},

et la densité fictive $\rho '$ étant constante à la surface de cette sphère, tous les $p_{i}^{2}$ ont même valeur moyenne ; ce que nous écrivons

{\overline {p_{i}^{2}}}={\overline {p_{1}^{2}}},

en surmontant les lettres d’un trait pour indiquer qu’il s’agit de valeurs moyennes. Faisant d’abord $i=2,$ $p_{1}$ et $p_{2}$ sont relatifs à une même molécule, et l’équation précédente montre que cette molécule a même force vive moyenne dans le sens des $x$ et dans le sens des $y.$ Si $p_{i}$ et $p_{1}$ sont relatifs tous deux à l’axe des $x,$ mais à deux molécules différentes, la même équation prouve que ces deux molécules ont, suivant une même direction, la même force vive moyenne. Donc, si

↑ On sait en effet que $\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ a pour limite $\mathrm {e} ^{x}$ quand n croît indéfiniment.
↑ Si, parmi les $n$ molécules, il s’en trouve deux identiques, on peut les intervertir sans changer la configuration du système ; les deux systèmes ainsi définis satisfont à la même loi de probabilité. S’il se trouve N molécules identiques, on peut les intervertir de N ! façons différentes : on obtient ainsi N ! systèmes satisfaisant à la même loi de probabilité. Cette loi subsiste donc même si l’on ne considère pas comme distincts ces N ! systèmes qui offrent tous la même configuration.

[1] On sait en effet que $\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ a pour limite $\mathrm {e} ^{x}$ quand n croît indéfiniment.

[2] Si, parmi les $n$ molécules, il s’en trouve deux identiques, on peut les intervertir sans changer la configuration du système ; les deux systèmes ainsi définis satisfont à la même loi de probabilité. S’il se trouve N molécules identiques, on peut les intervertir de N ! façons différentes : on obtient ainsi N ! systèmes satisfaisant à la même loi de probabilité. Cette loi subsiste donc même si l’on ne considère pas comme distincts ces N ! systèmes qui offrent tous la même configuration.

[1]

[2]