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hypothèse de m. du ligondès

Nous devons, dans l’espace à $n$ dimensions, couper la sphère (14) par le plan (15) : l’intersection est une sphère à $n-2$ dimensions dont nous appelons $p_{i}^{0}$ les coordonnées du centre. Pour avoir ce centre, nous abaissons de l’origine la perpendiculaire sur le plan (15) ; nous obtenons les équations

$p_{i}^{0}=\varepsilon _{i}{\sqrt {m_{i}}}k,$

qui expriment que les $p_{i}^{0}$ sont proportionnels aux cosinus directeurs de la normale au plan (15) ; et pour déterminer la constante $k,$ nous écrivons que le point $p_{i}^{0}$ est situé dans le plan (15), ce qui donne

$k\sum \varepsilon _{i}^{2}m_{i}=\mathrm {A} .$

Ayant ainsi obtenu le centre de notre sphère à $n-2$ dimensions, transportons-y l’origine en posant

$p_{i}=p'_{i}+p_{i}^{0}.$

La sphère (14) devient alors

$\sum {p'_{i}}^{2}+2\sum p'_{i}p_{i}^{0}+\sum {p_{i}^{0}}^{2}={\text{const.}}$

or, on a

${\begin{aligned}\sum p'_{i}p_{i}^{0}&=k\sum \varepsilon _{i}{\sqrt {m_{i}}}p'_{i}\\[0.5ex]&=k\left[\sum \varepsilon _{i}{\sqrt {m_{i}}}p_{i}-\sum \varepsilon _{i}{\sqrt {m_{i}}}p_{i}^{0}\right]\\[0.5ex]&=k\left[\mathrm {A} -\mathrm {A} \right]\\[0.5ex]&=0\,;\end{aligned}}$

par suite, l’équation de la sphère (14) s’écrit

$\sum {p'_{i}}^{2}={\text{const.}}$

Il faut couper cette sphère par le plan diamétral (15), devenu

$\sum \varepsilon _{i}{\sqrt {m_{i}}}p'_{i}=0.$

La multiplicité à $n-2$ dimensions qui résulte de cette intersection présente encore la symétrie de la sphère. Un raisonnement identique à celui qui a été fait plus haut montrerait alors que la distribution des $p'_{i}$ satisfait encore à la loi de Maxwell.