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hypothèses cosmogoniques
le chemin parcouru par la Lune pendant le temps
: le travail de
la force perturbatrice est
![{\displaystyle d\mathrm {T} =\mathrm {F} \,ds\,\cos \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7a3c7f821172666b27630150090cf1bcda2425)
où
désigne l’angle de
avec
. Soit
le moment de rotation ; sa
dérivée
est égale au moment de la force perturbatrice ; on a donc
l’égalité
![{\displaystyle {\frac {d{\mathcal {M}}}{dt}}=\mathrm {F} \,r\,\cos \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7beba332433e841929cd6b035346ff8db3f7accf)
où
désigne le rayon vecteur et
l’angle de
avec la perpendiculaire à ce rayon vecteur.
Dans le cas d’une orbite circulaire,
et
sont tous deux
égaux à 1, et l’on a
![{\displaystyle ds=rn\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ba7f61c6dfc0419f1c6d2c896bd6370bfc09d4)
étant le moyen mouvement. Nous tirons alors des formules précédentes
(1)
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Or,
est la différentielle de la constante des forces vives
![{\displaystyle d\mathrm {T} =d\left(-{\frac {\mathrm {M} }{2a}}\right)={\frac {\mathrm {M} \,da}{2a^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9081d05a2bb553a328e896d6cc1c3d36b0ae7af)
et le moment de rotation
a pour valeur
![{\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {\mathrm {M} a\left(1-e^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e353b226256f6d0eb42773ba6665f3d61a0f6e88)
désigne la masse de l’ensemble Terre-Lune,
et
sont le grand
axe et l’excentricité de l’orbite lunaire. L’équation (1) s’écrit donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} \,da}{2a^{2}}}=n{\sqrt {\mathrm {M} }}{\frac {(1-e^{2})\,da-a\,d(e^{2})}{2{\sqrt {a(1-e^{2})}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c559f57fb2bafa75314a2772e7815816b30b660f)
L’orbite étant supposée circulaire, nous faisons
; il vient
(2)
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Or, on a
![{\displaystyle \mathrm {M} =n^{2}a^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44290146ebbb6f293072f40a024488bfde728d45)