Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/160

134

hypothèses cosmogoniques

$ds$ le chemin parcouru par la Lune pendant le temps $dt$ : le travail de la force perturbatrice est

$d\mathrm {T} =\mathrm {F} \,ds\,\cos \alpha .$

où $\alpha$ désigne l’angle de $\mathrm {F}$ avec $ds$. Soit ${\mathcal {M}}$ le moment de rotation ; sa dérivée ${\frac {d{\mathcal {M}}}{dt}}$ est égale au moment de la force perturbatrice ; on a donc l’égalité

${\frac {d{\mathcal {M}}}{dt}}=\mathrm {F} \,r\,\cos \beta ,$

où $r$ désigne le rayon vecteur et $\beta$ l’angle de $\mathrm {F}$ avec la perpendiculaire à ce rayon vecteur.

Dans le cas d’une orbite circulaire, $\cos \alpha$ et $\cos \beta$ sont tous deux égaux à 1, et l’on a

$ds=rn\,dt,$

$n$ étant le moyen mouvement. Nous tirons alors des formules précédentes

(1)

$d\mathrm {T} =n\,d{\mathcal {M}}.$

Or, $d\mathrm {T}$ est la différentielle de la constante des forces vives $\left(-{\frac {\mathrm {M} }{2a}}\right)\,:$

$d\mathrm {T} =d\left(-{\frac {\mathrm {M} }{2a}}\right)={\frac {\mathrm {M} \,da}{2a^{2}}}\,;$

et le moment de rotation ${\mathcal {M}}$ a pour valeur

${\mathcal {M}}={\sqrt {\mathrm {M} a\left(1-e^{2}\right)}}\,;$

$\mathrm {M}$ désigne la masse de l’ensemble Terre-Lune, $2a$ et $e$ sont le grand axe et l’excentricité de l’orbite lunaire. L’équation (1) s’écrit donc

${\frac {\mathrm {M} \,da}{2a^{2}}}=n{\sqrt {\mathrm {M} }}{\frac {(1-e^{2})\,da-a\,d(e^{2})}{2{\sqrt {a(1-e^{2})}}}}.$

L’orbite étant supposée circulaire, nous faisons $e^{2}=0$ ; il vient

(2)

${\frac {\mathrm {M} \,da}{2a^{2}}}=n{\sqrt {\mathrm {M} }}{\frac {da}{2{\sqrt {a}}}}-n{\sqrt {\mathrm {M} }}{\frac {\sqrt {a}}{2}}\,d(e^{2}).$

Or, on a

$\mathrm {M} =n^{2}a^{3}\,;$