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hypothèses cosmogoniques

Telle est l’équation qui, dans la théorie statique, donne la dénivellation $\zeta .$ Nous allons la transformer.

104.L’accélération $\mathrm {J}$ que la Lune L imprime au centre de la Terre T a pour valeur ${\frac {m}{\rho ^{2}}},$ et est dirigée suivant la droite TL $=\rho .$ Donc l’angle $(\mathrm {J} ,a)$ n’est autre que l’angle désigné par $\sigma$ sur la figure 29 (c’est la distance zénithale géocentrique de la Lune), et l’on a

$\mathrm {J} a\cos(\mathrm {J} ,a)={\frac {ma}{\rho ^{2}}}\cos \sigma .$

Comme on a

$r^{2}=a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \sigma ,$

le potentiel $\mathrm {V} _{1}$ dû à la Lune peut s’écrire

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}&={\frac {m}{\left(\rho ^{2}-2a\rho \cos \sigma \right)^{\frac {1}{2}}}}\\[0.75ex]&={\frac {m}{\rho }}\left(1-{\frac {2a}{\rho }}\cos \sigma +{\frac {a^{2}}{\rho ^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\\[0.75ex]&={\frac {m}{\rho }}+{\frac {am}{\rho ^{2}}}\cos \sigma +{\frac {a^{2}m}{\rho ^{3}}}{\frac {3\cos ^{2}\sigma -1}{2}},\\\end{aligned}}$

en négligeant les termes de l’ordre de ${\frac {a^{3}}{\rho ^{4}}}$. Nous écrirons

$\mathrm {V} _{1}=\mathrm {U} _{0}+\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} _{2},$

en posant

${\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}&={\frac {m}{\rho }},&\mathrm {U} _{1}&={\frac {am}{\rho ^{2}}}\cos \sigma ,&\mathrm {U} _{2}&={\frac {a^{2}m}{\rho ^{3}}}{\frac {3\cos ^{2}\sigma -1}{2}}\cdot \end{aligned}}$

Par suite, nous pouvons écrire l’équation (8) ainsi

$\mathrm {V} _{0}-g\zeta +\mathrm {U} _{0}+\mathrm {U} _{2}={\text{const.}},$

$\mathrm {V} _{0}$ et $\mathrm {U} _{0}={\frac {m}{\rho }}$ étant des constantes ne dépendant pas du point A, cette équation nous donne finalement, pour la dénivellation $\zeta ,$

$\zeta ={\frac {\mathrm {U} _{2}}{g}}+{\text{const.}}={\frac {1}{g}}{\frac {a^{2}m}{\rho ^{3}}}{\frac {3\cos ^{2}\sigma -1}{2}}+{\text{const.}}$