Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/189

163

hypothèse de sir g. h. darwin

nous pouvons former le tableau suivant à double entrée :

${\begin{array}{l|c|r|r|c|c|r|c}{\begin{array}{c}\;\\[2ex]\;\end{array}}&\alpha &\beta &\gamma &\mathrm {A} ^{2}&\alpha n+\beta \Omega &-\gamma -\eta \beta &\alpha +\beta -\mu \beta \\\hline {\begin{array}{c}\;\\[2ex]\;\end{array}}\!\!\!\!{\text{Terme}}\;(\mathrm {M} _{2})&2&-2&0&1&2n-2\Omega &2\eta \quad &2\mu \\\hline {\begin{array}{c}\;\\[2ex]\;\end{array}}\!\!\!\!{\text{Terme}}\;(\mathrm {N} )&2&-3&1&{\dfrac {49}{2}}\eta &2n-3\Omega &-1\quad &\;\;{\text{»}}\\\hline {\begin{array}{c}\;\\[2ex]\;\end{array}}\!\!\!\!{\text{Terme}}\;(\mathrm {L} )&2&-1&-1&\;{\dfrac {1}{2}}\eta &2n-\;\Omega &1\quad &\;\;{\text{»}}\\\hline {\begin{array}{c}\;\\[2ex]\;\end{array}}\!\!\!\!{\text{Terme}}\;(\mathrm {O} )&1&-2&0&2\mu &\;\;n-2\Omega &{\text{»}}\quad &-1\\\hline {\begin{array}{c}\;\\[2ex]\;\end{array}}\!\!\!\!{\text{Terme}}\;(\mathrm {K} _{1})&1&0&0&2\mu &n&{\text{»}}\quad &\;\;\,1\\\hline {\begin{array}{c}\;\\[2ex]\;\end{array}}\!\!\!\!{\text{Terme}}\;(\mathrm {M} _{m})&0&1&-1&3\eta &\Omega &1\quad &\;\;{\text{»}}\\\end{array}}$

Pour le calcul des quantités $\mathrm {A} ^{2}$, $e^{2}$ a été remplacé par $2\eta$ et $\sin ^{2}{\frac {i}{2}}$ par ${\frac {\mu }{2}}$. Dans les deux dernières colonnes on n’a conservé les termes en $\eta$ et en $\mu$ que pour le terme principal ($\mathrm {M} _{2}$). Enfin, dans l’avant dernière colonne, on ne s’est pas occupé des termes $(\mathrm {O} )$ et $(\mathrm {K} _{1})$ qui contiennent $\sin {\frac {i}{2}}$ en facteur ; dans la dernière colonne, on ne s’est pas occupé des termes $(\mathrm {N} ),$ $(\mathrm {L} )$ et $(\mathrm {M} _{m})$ qui contiennent $e$ en facteur ; car, pour le calcul des variations de l’excentricité, nous supposons l’inclinaison nulle et, pour le calcul des variations de l’inclinaison, nous supposons l’excentricité nulle.

116.Le Tableau précédent fournit tous les éléments nécessaires pour calculer

${\frac {d\xi }{dt}},\qquad \xi \,{\frac {d\eta }{dt}},\qquad \xi \,{\frac {d\mu }{dt}}$

au moyen des formules (22). Nous trouvons ainsi

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=(-4n+4\Omega )+{\text{termes en}}\;\eta \;{\text{et en}}\;\mu ,\\[0.5ex]\xi \,{\frac {d\eta }{dt}}&=2\eta (2n-2\Omega )-{\frac {49}{2}}\eta (2n-3\Omega )+{\frac {1}{2}}\eta (2n-\Omega )+3\eta \Omega ,\\[0.5ex]\xi \,{\frac {d\mu }{dt}}&=2\mu (2n-2\Omega )-2\mu (n-2\Omega )+2\mu n.\end{aligned}}$