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hypothèses cosmogoniques

Mais ces figures ellipsoïdales d’équilibre, de Mac-Laurin ou de Jacobi, ne sont pas les seules possibles pour notre masse fluide homogène animée d’un mouvement de rotation ; il en existe une infinité d’autres^[1] dont nous allons maintenant parler.

134.Rappelons la définition des coordonnées elliptiques de l’espace. Considérons la famille de quadriques homofocales

${\frac {x^{2}}{\lambda ^{2}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\lambda ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\lambda ^{2}-c^{2}}}-1=0.$

Par chaque point de l’espace passent trois de ces surfaces : en effet, $x,y,z$ étant donnés, on a pour déterminer $\lambda ^{2}$ une équation du troisième degré, dont les racines sont séparées par les nombres $a^{2},$ $b^{2},$ $c^{2}.$ Appelant $\rho ^{2},$ $\mu ^{2},$ $\nu ^{2},$ ces trois racines, nous aurons

$\rho ^{2}>a^{2}>\mu ^{2}>b^{2}>\nu ^{2}>c^{2}.$

La plus grande racine $\rho ^{2}$ correspond à un ellipsoïde, la racine moyenne $\mu ^{2}$ à un hyperboloïde à une nappe, la plus petite $\nu ^{2}$ à un hyperboloïde à deux nappes.

Réciproquement, si $\rho ,\mu ,\nu$ sont donnés, on a trois surfaces se coupant en huit points placés symétriquement, par rapport aux divers plans de coordonnées. Si on ne considère que les points situés dans le trièdre positif des axes de coordonnées, les trois nombres $\rho ,\mu ,\nu$ définissent un point et un seul : ce sont les coordonnées elliptiques de l’espace.

Soit $\mathrm {R}$ une fonction de $\rho$ qui sera, soit un polynôme en $\rho ^{2}$, soit un tel polynôme multiplié par un, deux ou trois des radicaux

${\sqrt {\rho ^{2}-a^{2}}},\qquad {\sqrt {\rho ^{2}-b^{2}}},\qquad {\sqrt {\rho ^{2}-c^{2}}}.$

Soient $\mathrm {M}$ la même fonction de $\mu$ et $\mathrm {N}$ la même fonction de $\nu$. $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ne diffèrent de $\mathrm {R}$ que par le changement de $\rho ^{2}$ en $\mu ^{2}$ et en $\nu ^{2}$ respectivement.

Le produit $\mathrm {RMN}$ est une fonction de $x,y,z$. Si cette fonction est harmonique, c’est-à-dire si l’on a

$\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\right)\mathrm {RMN} =0,$

1. H. Poincaré : Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation (Acta Mathematica, t. VII, 1885, p. 250-380). Voir aussi H. Poincaré : Figures d’équilibre d’une masse fluide (Leçons professées à la Sorbonne en 1900).