Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/213

187

hypothèse de sir g. h. darwin

les fonctions $\mathrm {R} ,$ $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {N}$ sont dites fonctions de Lamé. On démontre qu’il existe effectivement une infinité de fonctions de Lamé.

Considérons un ellipsoïde E correspondant à une valeur donnée $\rho$ du paramètre, et définissons une surface $\Sigma$ voisine de l’ellipsoïde E
fig.37. (fig. 37) : en chaque point de E nous menons une petite normale PP′ de longueur

$\zeta =\varepsilon \,l\,\mathrm {MN} ,$

en posant

$l={\frac {1}{\sqrt {\left(\rho ^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\rho ^{2}-\nu ^{2}\right)}}}\,;$

$l$ est une fonction bien déterminée du point quelconque P de l’ellipsoïde E ; $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont deux fonctions de Lamé conjuguées ; $\varepsilon$ est une constante très petite.

Le lieu du point P’ est une surface $\Sigma$ qui coupe l’ellipsoïde E suivant des lignes de courbure : en effet, le long de l’intersection de ces deux surfaces, on a

$\zeta =0,$

c’est-à-dire

$\mathrm {M} =0\qquad {\text{ou}}\qquad \mathrm {N} =0\,;$

c’est dire que cette intersection est située sur un hyperboloïde

$\mu =\,{\text{const.}}\qquad {\text{ou}}\qquad \nu =\,{\text{const.}}$

hyperboloïde qui, on le sait, coupe E suivant une ligne de courbure.