Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/268

242

hypothèses cosmogoniques

volume $v$ du corps de pompe ; on a donc

$\mathrm {U} =\mathrm {AT} ^{4}v,$

$\mathrm {A}$ étant un coefficient constant.

Supposons que le piston se soulève, accroissant ainsi le volume de $dv\,;$ en même temps, la source extérieure cède au système une quantité de chaleur $d\mathrm {Q} ,$ et l’équation fondamentale de la Thermodynamique (principe d’équivalence) donne

${\begin{aligned}d\mathrm {Q} &=d\mathrm {U} +p\,dv\\[0.5ex]&=4\mathrm {AT} ^{3}v\,d\mathrm {T} +\mathrm {AT} ^{4}\,dv+p\,dv.\end{aligned}}$

Puisque, par hypothèse, le système était primitivement en équilibre, la modification peut être supposée réversible, et par suite

${\frac {d\mathrm {Q} }{\mathrm {T} }}$

est une différentielle exacte (principe de Carnot) : ce que nous écrivons

$4\mathrm {AT} ^{2}v\,d\mathrm {T} +\left(\mathrm {AT} ^{3}+{\frac {p}{\mathrm {T} }}\right)dv=d\mathrm {S} .$

La condition d’intégrabilité du premier membre donne

${\frac {d}{d\mathrm {T} }}\left(\mathrm {AT} ^{3}+{\frac {p}{\mathrm {T} }}\right)={\frac {d}{dv}}\left(4\mathrm {AT} ^{2}v\right),$

d’où

${\frac {d}{d\mathrm {T} }}\left({\frac {p}{\mathrm {T} }}\right)=\mathrm {AT} ^{2},$

équation qui prouve déjà que $p$ ne peut pas être nul.

Intégrant, il vient

${\frac {p}{\mathrm {T} }}=\mathrm {A} {\frac {\mathrm {T} ^{3}}{3}}+\varphi (v).$

Il est presque évident que $p$ ne dépend pas de $v\,;$ nous poserons donc

$\varphi (v)=0.$

Par suite

$p={\frac {\mathrm {AT} ^{4}}{3}},$