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la voie lactée et la théorie des gaz

Appelons $r_{0}$ l’élongation maxima du mobile et supposons qu’au point correspondant la vitesse $\mathrm {V}$ soit nulle, ce qui correspond au cas d’une trajectoire rectiligne ; l’équation des forces vives s’écrira

$\alpha ^{2}r^{2}+\mathrm {V} ^{2}=\alpha ^{2}r_{0}^{2},$

d’où

$\mathrm {V} ^{2}=\alpha ^{2}(r_{0}^{2}-r^{2}).$

Lorsque le mobile passera au centre $(r=0)$, sa vitesse sera donc

(1)

$\mathrm {V} =\alpha r_{0}.$

Revenons à la Voie lactée assimilée à une sphère homogène où toutes les étoiles décrivent des ellipses de même centre. Pour la plupart des étoiles, l’élongation maxima $r_{0}$ sera du même ordre que le rayon de la sphère, et la vitesse maxima $\mathrm {V}$ sera donnée par l’égalité (1). Donc, inversement, si dans cette égalité (1) nous donnons à $\mathrm {V}$ la valeur de la vitesse propre moyenne des étoiles voisines de nous (et qui, par conséquent, sont voisines du centre de la Voie lactée), nous trouverons pour $r_{0}$ le rayon de la Voie lactée, ou pour mieux dire son ordre de grandeur.

Mais, pour faire ce calcul, il faut d’abord connaître $\alpha ,$ qui est proportionnel à la racine carrée de la densité fictive $\rho .$ Si la masse du Soleil était uniformément répartie dans une sphère ayant pour rayon $r_{0}$ le rayon de l’orbite terrestre $(r_{0}=1$ unité astronomique$),$ la vitesse maxima correspondant à cette élongation $r_{0}=1$ serait la vitesse $\omega$ de la Terre sur son orbite. L’équation (1) donnerait alors

$\omega =\alpha .$

Mais, pour que la densité de la Voie lactée devînt homogène, il faudrait répartir la masse du Soleil dans une sphère de rayon 10⁶ fois plus grand, ce rayon étant à peu près la distance des étoiles les plus rapprochées. La densité $\rho$ deviendrait donc 10¹⁸ fois plus faible : par conséquent $\alpha ,$ proportionnel à ${\sqrt {\rho }},$ deviendrait 10⁹ fois plus petit. La valeur de $\alpha$ à adopter est donc

$\alpha =\omega .10^{-9},$

et la formule (1) devient

$\mathrm {V} =\omega .10^{-9}r_{0}.$