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hypothèses cosmogoniques
Le second membre de la seconde équation (2) est donc
![{\displaystyle 4\pi \mathrm {D} \sigma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72c8c0c441c3cf77b5f2d4bc8e0ff6bb94809b7)
nous avons vu d’ailleurs que le second membre de la première équation (2) peut être pris égal à zéro.
Si maintenant dans les équations (2) nous substituons les valeurs
(4) de
et de
, nous obtenons
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}3\omega ^{2}\mathrm {A} +2\omega n\mathrm {B} +n^{2}\mathrm {A} &=0,\\[0.75ex]-n^{2}\mathrm {B} -2\omega n\mathrm {A} &=4\pi \mathrm {DB} \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8f22bf1448799b7a5801aa4a6b9fd72a8af149)
et l’élimination de
et de
entre ces équations conduit à l’équation
en ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![{\displaystyle \left(n^{2}+3\omega ^{2}\right)\left(n^{2}+4\pi \mathrm {D} \right)-4\omega ^{2}n^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19798ba2257bc80e55db6af01f276e542f31911)
ou
![{\displaystyle n^{4}-\left(\omega ^{2}-4\pi \mathrm {D} \right)n^{2}+12\pi \omega ^{2}\mathrm {D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e82f9eaf132c3be3117438c95058ee1daa491a6)
Cette équation bicarrée en
doit, s’il y a stabilité, avoir ses racines
réelles, ce qui exige que
![{\displaystyle (\omega ^{2}-4\pi \mathrm {D} )^{2}-48\pi \omega ^{2}\mathrm {D} >0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7190c51ae0e2fbe570ff989f9cbbe7a70b44eb)
cette inégalité peut s’écrire ainsi :
![{\displaystyle \omega ^{4}-56\pi \mathrm {D} \omega ^{2}+16\pi ^{2}\mathrm {D} ^{2}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483cb09f477c6cacef59ede9b566c7df8577bdc8)
Nous savons déjà que la masse de l’anneau et, par suite, sa densité
doivent être petites pour qu’il y ait stabilité. Négligeant donc
, nous
obtenons la condition
![{\displaystyle \omega ^{2}>56\pi \mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d144ba4d117502552bf79a2ccb7a34e2493809f1)
d’où nous tirons l’inégalité
(7)
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qui fixe une limite supérieure à la densité de l’anneau. Maxwell conclut que si l’anneau était liquide sa densité ne pourrait pas surpasser
1/300 de celle de la planète. Ce résultat est vrai pour un anneau de
poussières cosmiques comme pour un anneau liquide : la stabilité
ne peut exister que si la densité est suffisamment petite.