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analyse de l’hypothèse de laplace

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

puisque dans le mouvement normal on a

$\Delta \mathrm {R} =-4\pi \mathrm {D} .$

Si nous adoptons, pour un instant, un axe des $x$ tangent à la circonférence moyenne de l’anneau, nous reconnaissons que la dérivée

${\frac {d^{2}(\delta \mathrm {R} )}{dx^{2}}}$

est bien plus grande que les deux autres, car c’est dans le sens des $x$ que l’onde de condensation se propage, et nous choisissons les ondes les plus défavorables à la stabilité, c’est-à-dire les plus courtes ; l’onde étant très courte les variations dans le sens de la propagation, c’est-à-dire dans le sens de l’axe des $x$ sont très rapides ; nous pouvons donc écrire, au lieu de l’équation (5′),

(6)

${\frac {d^{2}(\delta \mathrm {R} )}{dx^{2}}}=-4\pi (\delta \mathrm {D} ).$

La contraction a eu pour effet de multiplier la densité de la tranche par

$\left(1+{\frac {\delta \mathrm {D} }{\mathrm {D} }}\right)\,;$

elle a multiplié son épaisseur par

$\left(1+a{\frac {d\sigma }{dx}}\right)\,;$

comme sa masse totale n’a pas changé, on doit avoir

$\left(1+{\frac {\delta \mathrm {D} }{\mathrm {D} }}\right)\left(1+a{\frac {d\sigma }{dx}}\right)=1,$

c’est-à-dire

$a{\frac {d\sigma }{dx}}=-{\frac {\delta \mathrm {D} }{\mathrm {D} }}.$

Alors l’équation (6) donne la suivante :

${\frac {d^{2}(\delta \mathrm {R} )}{dx^{2}}}=4\pi a\mathrm {D} {\frac {d\sigma }{dx}}\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\frac {d(\delta \mathrm {R} )}{dx}}\;$ ou $\;{\frac {1}{a}}{\frac {d(\delta \mathrm {R} )}{d\sigma }}=4\pi a\mathrm {D} \sigma .$