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analyse de l’hypothèse de laplace

ces points est ici un cercle d’axe $x'x$ et du rayon oA. Or, en un point où $\varphi -\mathrm {P}$ est maximum, on a, non seulement

$\Delta \left(\varphi -\mathrm {P} \right)<0,$

mais encore

(11)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\left(\varphi -\mathrm {P} \right)}{dx^{2}}}&<0,\\[0.75ex]{\frac {d^{2}\left(\varphi -\mathrm {P} \right)}{dy^{2}}}&<0,\\[0.75ex]{\frac {d^{2}\left(\varphi -\mathrm {P} \right)}{dz^{2}}}&<0.\end{aligned}}\right.$

Pour l’anneau de Saturne nous pouvons poser

$-\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {M} }{r}}+\delta \mathrm {P} ,$

${\frac {\mathrm {M} }{r}}$ étant le potentiel dû à l’attraction de Saturne et $\delta \mathrm {P}$ étant le potentiel dû à l’attraction de l’anneau sur lui-même. Calculons séparément les trois dérivées secondes en $x,$ $y,$ $z$ de

$\varphi ,\qquad {\frac {\mathrm {M} }{r}},\qquad \delta \mathrm {P} ,$

au point A de l’axe des $y$ (fig. 12) où $\varphi -\mathrm {P}$ passe par un maximum. Nous trouvons qu’on a, en ce point A,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}&=0,&{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}&=\omega ^{2}+2\omega \omega 'y,&{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}&=\omega ^{2}\,;\\[0.75ex]{\frac {d^{2}{\dfrac {\mathrm {M} }{r}}}{dx^{2}}}&=-{\frac {\mathrm {M} }{y^{4}}},&{\frac {d^{2}{\dfrac {\mathrm {M} }{r}}}{dy^{2}}}&={\frac {2\mathrm {M} }{y^{4}}},&{\frac {d^{2}{\dfrac {\mathrm {M} }{r}}}{dz^{2}}}&=-{\frac {\mathrm {M} }{y^{4}}}\,;\\[0.75ex]{\frac {d^{2}\!\left(\delta \mathrm {P} \right)}{dx^{2}}}&=-\varepsilon ,&{\frac {d^{2}\!\left(\delta \mathrm {P} \right)}{dy^{2}}}&=\varepsilon +\varepsilon '-4\pi \rho ,&{\frac {d^{2}\!\left(\delta \mathrm {P} \right)}{dz^{2}}}&=-\varepsilon '\,;\end{aligned}}$

$\varepsilon$ et $\varepsilon '$ sont de petites quantités positives ; d’ailleurs, au point A considéré, ${\frac {\mathrm {M} }{y^{4}}}$ diffère peu de $\omega ^{2}$ (troisième loi de Képler), et l’on peut écrire approximativement

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}{\dfrac {\mathrm {M} }{r}}}{dx^{2}}}&=-\omega ^{2},&{\frac {d^{2}{\dfrac {\mathrm {M} }{r}}}{dy^{2}}}&=2\omega ^{2},&{\frac {d^{2}{\dfrac {\mathrm {M} }{r}}}{dz^{2}}}&=-\omega ^{2}.\end{aligned}}$