V. L’arithmétique.
J’arrive à ce que M. Couturat appelle la théorie ordinale et qui est le fondement de l’arithmétique proprement dite. M. Couturat commence par énoncer les cinq axiomes de Peano, qui sont indépendants, comme l’ont démontré MM. Peano et Padoa.
1. Zéro est un nombre entier.
2. Zéro n’est le suivant d’aucun nombre entier.
3. Le suivant d’un entier est un entier
auquel il conviendrait d’ajouter
tout entier a un suivant.
4. Deux nombres entiers sont égaux, si leurs suivants le sont.
Le 5e axiome est le principe d’induction complète.
M. Couturat considère ces axiomes comme des définitions déguisées ; ils constituent la définition par postulats de zéro, du « suivant », et du nombre entier.
Mais nous avons vu que pour qu’une définition par postulats puisse être acceptée, il faut que l’on puisse établir qu’elle n’implique pas contradiction.
Est-ce le cas ici ? Pas le moins du monde.
La démonstration ne peut se faire par l’exemple.
