On ne peut choisir une partie des nombres entiers, par exemple les trois premiers, et démontrer qu’ils satisfont à la définition.
Si je prends la série 0, 1, 2, je vois bien qu’elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4 et 5 ; mais, pour qu’elle satisfasse à l’axiome 3, il faut encore que 3 soit un entier, et par conséquent que la série 0, 1, 2, 3 satisfasse aux axiomes ; on vérifierait qu’elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4, 5, mais l’axiome 3 exige en outre que soit un entier et que la série 0, 1, 2, 3, 4 satisfasse aux axiomes, et ainsi de suite.
Il est donc impossible de démontrer les axiomes pour quelques nombres entiers sans les démontrer pour tous, il faut renoncer à la démonstration par l’exemple.
Il faut alors prendre toutes les conséquences de nos axiomes et voir si elles ne contiennent pas de contradiction. Si ces conséquences étaient en nombre fini, cela serait facile ; mais elles sont en nombre infini, c’est toutes les mathématiques, ou au moins toute l’arithmétique.
Alors que faire ? Peut-être à la rigueur pourrait-on répéter le raisonnement du n° 3.
Mais, nous l’avons dit, ce raisonnement, c’est de l’induction complète, et c’est précisément le principe d’induction complète qu’il s’agirait de justifier.
