Pour lui les mathématiques n’ont à combiner que de purs symboles et un vrai mathématicien doit raisonner sur eux sans se préoccuper de leur sens. Aussi ses axiomes ne sont pas pour lui ce qu’ils sont pour le vulgaire.
Il les considère comme représentant la définition par postulats du symbole = jusqu’ici vierge de toute signification. Mais pour justifier cette définition, il faut montrer que ces deux axiomes ne conduisent à aucune contradiction.
Pour cela M. Hilbert se sert du raisonnement du n° III, sans paraître s’apercevoir qu’il fait de l’induction complète.
IX
La fin du mémoire de M. Hilbert est tout à fait énigmatique et nous n’y insisterons pas. Les contradictions s’y accumulent ; on sent que l’auteur a vaguement conscience de la pétition de principe qu’il a commise, et qu’il cherche vainement à replâtrer les fissures de son raisonnement.
Qu’est-ce à dire ? Au moment de démontrer que la définition du nombre entier par l’axiome d’induction complète n’implique pas contradiction, M. Hilbert se dérobe comme se sont dérobés MM. Russell et Couturat, parce que la difficulté est trop grande.
