X. La géométrie.
La géométrie, dit M. Couturat, est un vaste corps de doctrine où le principe d’induction complète n’intervient pas. Cela est vrai dans une certaine mesure, on ne peut pas dire qu’il n’intervient pas, mais il intervient peu. Si l’on se reporte à la Rational Geometry de M. Halsted (New-York, John Wiley and Sons, 1904) établie d’après les principes de M. Hilbert, on voit intervenir le principe d’induction pour la première fois à la page 114 (à moins que j’aie mal cherché, ce qui est bien possible).
Ainsi la géométrie, qui, il y a quelques années à peine, semblait le domaine où le règne de l’intuition était incontesté, est aujourd’hui celui où les logisticiens semblent triompher. Rien ne saurait mieux faire mesurer l’importance des travaux géométriques de M. Hilbert et la profonde empreinte qu’ils ont laissée sur nos conceptions.
Mais il ne faut pas s’y tromper. Quel est en somme le théorème fondamental de la Géométrie ? C’est que les axiomes de la Géométrie n’impliquent pas contradiction et, cela, on ne peut pas le démontrer sans le principe d’induction.
Comment Hilbert démontre-t-il ce point essentiel ? C’est en s’appuyant sur l’Analyse et par elle
