ils se sont bientôt heurtés à d’étranges contradictions. Ces antinomies sont déjà nombreuses, mais les plus célèbres sont :
1° L’antinomie Burali-Forti ;
2° L’antinomie Zermelo-König ;
3° L’antinomie Richard.
Cantor avait démontré que les nombres ordinaux (il s’agit des nombres ordinaux transfinis, notion nouvelle introduite par lui) peuvent être rangés en une série linéaire, c’est-à-dire que de deux nombres ordinaux inégaux, il y en a toujours un qui est plus petit que l’autre. Burali-Forti démontre le contraire ; et en effet, dit-il en substance, si on pouvait ranger tous les nombres ordinaux en une série linéaire, cette série définirait un nombre ordinal qui serait plus grand que tous les autres ; on pourrait ensuite y ajouter 1 et on obtiendrait encore un nombre ordinal qui serait encore plus grand, et cela est contradictoire.
Nous reviendrons plus loin sur l’antinomie Zermelo-König qui est d’une nature un peu différente ; voici ce que c’est que l’antinomie Richard. (Revue générale des Sciences, 30 juin 1905.) Considérons tous les nombres décimaux qu’on peut définir à l’aide d’un nombre fini de mots ; ces nombres décimaux forment un ensemble E, et il est aisé de voir que cet ensemble est dénombrable, c’est-à-dire qu’on peut numéroter les divers nombres décimaux de cet ensemble depuis 1 jusqu’à l’infini. Supposons le
