numérotage effectué, et définissons un nombre N de la façon suivante. Si la ne décimale du ne nombre de l’ensemble E est
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
la ne décimale de N sera
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1
Comme on le voit, N n’est pas égal au ne nombre de E et comme n est quelconque, N n’appartient pas à E et pourtant N devrait appartenir à cet ensemble puisque nous l’avons défini avec un nombre fini de mots.
Nous verrons plus loin que M. Richard a donné lui-même, avec beaucoup de sagacité, l’explication de son paradoxe et que son explication peut s’étendre, mutatis mutandis, aux autres paradoxes analogues.
Quel est le plus petit nombre entier que l’on ne peut pas définir par une phrase formée de moins de cent mots français ?
Ce nombre existe ; et en effet les nombres susceptibles d’être définis par une pareille phrase sont évidemment en nombre fini puisque les mots de la langue française ne sont pas en nombre infini. Donc, parmi eux, il y en aura un qui sera plus petit que tous les autres.
