Remarquons que
il viendra, en remplaçant
par sa valeur,
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Si nous nous rappelons la définition de
nous tirerons de là :
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et de même
d’où
(3)
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Or, en vertu des équations (2) on doit avoir :
En remplaçant
par sa valeur (3) et identifiant, il vient :
Ce sont les équations (11) du § 1. Le principe de moindre action nous conduit donc au même résultat que l’analyse du § 1.
Si nous nous reportons aux formules (1), nous voyons que
n’est pas altérée par la transformation de Lorentz, sauf un facteur constant ; il n’en est pas de même de l’expression
qui figure dans l’énergie. Si nous nous bornons au cas où
est assez petit pour qu’on en puisse négliger le carré de sorte que
et si nous supposons aussi
nous trouvons :
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ou, par addition,
§ 4. — Le Groupe de Lorentz.
Il importe de remarquer que les transformations de Lorentz forment un groupe.
Si l’on pose en effet :