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et d’autre part

$x^{\prime \prime }=k^{\prime }l^{\prime }(x^{\prime }+\epsilon ^{\prime }t^{\prime }),\quad y^{\prime \prime }=l^{\prime }y^{\prime },\quad z^{\prime \prime }=l^{\prime }z^{\prime },\quad t^{\prime \prime }=k^{\prime }l^{\prime }(t^{\prime }+\epsilon ^{\prime }x^{\prime }),$

avec

$k^{-2}=1-\epsilon ^{2},\quad k^{\prime -2}=1-\epsilon ^{\prime 2},$

il viendra :

$x^{\prime \prime }=k^{\prime \prime }l^{\prime \prime }(x+\epsilon ^{\prime \prime }t),\quad y^{\prime \prime }=l^{\prime \prime }y,\quad z^{\prime \prime }=l^{\prime \prime }z,\quad t^{\prime \prime }=k^{\prime \prime }l^{\prime \prime }(t+\epsilon ^{\prime \prime }x),$

avec

$\epsilon ^{\prime \prime }={\frac {\epsilon +\epsilon ^{\prime }}{1+\epsilon \epsilon ^{\prime }}},\quad l^{\prime \prime }=ll^{\prime },\quad k^{\prime \prime }=kk^{\prime }(1+\epsilon \epsilon ^{\prime })={\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon ^{\prime \prime 2}}}}.$

Si nous donnons à $l$ la valeur $1,$ que nous supposions $\epsilon$ infiniment petit,

$x^{\prime }=x+\delta x,\quad y^{\prime }=y+\delta y,\quad z^{\prime }=z+\delta z,\quad t^{\prime }=t+\delta t,$

il viendra :

$\delta x=\epsilon t,\quad \delta y=\delta z=0,\quad \delta t=\epsilon x.$

C’est là la transformation infinitésimale génératrice du groupe, que j’appellerai la transformation $T_{1}$ et qui d’après la notation de Lie peut s’écrire :

$t{\frac {d\varphi }{dx}}+x{\frac {d\varphi }{dt}}=T_{1}.$

Si nous supposons $\epsilon =0$ et $l=1+\delta l,$ nous trouverions au contraire

$\delta x=x\delta l,\quad \delta y=y\delta l,\quad \delta z=z\delta l,\quad \delta t=t\delta l$

et nous aurions une autre transformation infinitésimale $T_{0}$ du groupe (à supposer que $l$ et $\epsilon$ soient regardés comme des variables indépendantes) et on aurait avec la notation de Lie :

$T_{0}=x{\frac {d\varphi }{dx}}+y{\frac {d\varphi }{dy}}+z{\frac {d\varphi }{dz}}+t{\frac {d\varphi }{dt}}.$

Mais on pourrait faire jouer à l’axe des $y$ ou à celui des $z$ le rôle particulier que nous avons fait jouer à l’axe des $x;$ on aurait ainsi deux autres transformations infinitésimales :

$T_{2}=t{\frac {d\varphi }{dy}}+y{\frac {d\varphi }{dt}},$ $T_{3}=t{\frac {d\varphi }{dz}}+z{\frac {d\varphi }{dt}},$

qui n’altéreraient pas non plus les équations de Lorentz.

On peut former les combinaisons imaginées par Lie, telles que

$\left[T_{1},T_{2}\right]=x{\frac {d\varphi }{dy}}-y{\frac {d\varphi }{dx}};$

mais il est aisé de voir que cette transformation équivaut à un changement d’axes de coordonnées, les axes tournant d’un angle très petit autour de l’axe des $z.$ Nous ne