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de Lorentz, c’est-à-dire que les équations (10) ne différent des équations (5) que par l’accentuation des lettres, il faut supposer :

$l=1.$

Supposons maintenant que l’on ait $\eta =\zeta =0,$ d’où $\xi =V,$ ${\frac {d\xi }{dt}}={\frac {dV}{dt}}\,;$ les équations (5) prendront la forme :

(5bis)

$-{\frac {d}{dt}}{\frac {dH}{d\xi }}={\frac {dD}{dV}}{\frac {d\xi }{dt}}=X_{1},\quad -{\frac {d}{dt}}{\frac {dH}{d\eta }}={\frac {D}{V}}{\frac {d\eta }{dt}}=Y_{1}.$

Nous pouvons d’ailleurs poser :

${\frac {dD}{dV}}=f(V)=f(\xi ),\quad {\frac {D}{V}}=\varphi (V)=\varphi (\xi ).$

Si les équations du mouvement ne sont pas altérées par la transformation de Lorentz, on devra avoir :

$f(\xi ){\frac {d\xi }{dt}}=X_{1},$ $\varphi (\xi ){\frac {d\eta }{dt}}=Y_{1},$ $f(\xi ^{\prime }){\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}=X_{1}^{\prime }=l^{-2}\mu ^{-1}(X_{1}+\epsilon \sum X_{1}\xi )=l^{-2}\mu ^{-1}X_{1}(1+\epsilon \xi )=l^{-2}X_{1},$ $\varphi (\xi ^{\prime }){\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}=Y_{1}^{\prime }=l^{-2}k^{-1}\mu ^{-1}Y_{1},$

et par conséquent :

(11)

${\begin{cases}f(\xi ){\frac {d\xi }{dt}}=l^{2}f(\xi ^{\prime }){\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}},\\\\\varphi (\xi ){\frac {d\eta }{dt}}=l^{2}k\mu \varphi (\xi ^{\prime }){\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}.\end{cases}}$

Mais nous avons :

${\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}},$

d’où :

$f(\xi ^{\prime })=f\left({\frac {\xi +\epsilon }{1+\xi \epsilon }}\right)=f(\xi ){\frac {k^{3}\mu ^{3}}{l^{2}}},$ $\varphi (\xi ^{\prime })=\varphi \left({\frac {\xi +\epsilon }{1+\xi \epsilon }}\right)=\varphi (\xi ){\frac {k\mu }{l^{2}}}\,;$

d’où, en éliminant $l^{2},$ nous trouvons l’équation fonctionnelle :

$k^{2}\mu ^{2}{\frac {\varphi \left({\frac {\xi +\epsilon }{1+\xi \epsilon }}\right)}{\varphi (\xi )}}={\frac {f\left({\frac {\xi +\epsilon }{1+\xi \epsilon }}\right)}{f(\xi )}},$