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(7)

$h^{\prime -1}{\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}+h^{\prime -3}\eta ^{\prime }M^{\prime }=\left[h^{-1}{\frac {d\eta }{dt}}+h^{-3}\eta M\right]\mu ^{-1}h^{-1}.$

Reportons-nous maintenant aux équations (11^bis) du § 1 ; on peut y regarder $X_{1},\quad Y_{1},\quad Z_{1}$ comme ayant la même signification que dans les équations (5). D’autre part, nous avons $l=1$ et ${\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}=k\mu \,;$ ces équations deviennent donc :

(8)

${\begin{cases}X_{1}^{\prime }=\mu ^{-1}\left(X_{1}+\epsilon \sum X_{1}\xi \right),\\\\Y_{1}^{\prime }=k^{-1}\mu ^{-1}Y_{1}.\end{cases}}$

Calculons $\sum X_{1}\xi$ à l’aide des équations (5), nous trouverons :

$\sum X_{1}\xi =h^{-3}M,$

d’où :

(9)

${\begin{cases}X_{1}^{\prime }=\mu ^{-1}\left(X_{1}+\epsilon h^{-3}M\right),\\\\Y_{1}^{\prime }=k^{-1}\mu ^{-1}Y_{1}.\end{cases}}$

En comparant les équations (5), (6), (7) et (9), on trouve enfin :

(10)

${\begin{cases}h^{\prime -1}{\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}+h^{\prime -3}\xi ^{\prime }M^{\prime }=X_{1}^{\prime },\\\\h^{\prime -1}{\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}+h^{\prime -3}\eta ^{\prime }M^{\prime }=Y_{1}^{\prime },\end{cases}}$

ce qui montre que les équations du mouvement quasi-stationnaire ne sont pas altérées par la transformation de Lorentz ; mais cela ne prouve pas encore que l’hypothèse de Lorentz est la seule qui conduise à ce résultat.

Pour établir ce point, nous allons nous restreindre, ainsi que l’a fait Lorentz, à certains cas particuliers, ce qui nous suffira évidemment pour démontrer une proposition négative.

Comment allons-nous d’abord étendre les hypothèses sur lesquelles reposait le calcul précédent ?

1^o Au lieu de supposer $l=1$ dans la transformation de Lorentz, nous supposerons $l$ quelconque.

2^o Au lieu de supposer que $F$ est proportionnel au volume, et par conséquent que $H$ est proportionnel à $h$, nous supposerons que $F$ est une fonction quelconque de $\theta$ et de $r$, de telle façon que [après avoir remplacé $\theta \ {\text{et}}\ r$ par leurs valeurs en fonctions de $V,$ tirées des deux premières équations (1)] $H$ soit une fonction quelconque de $V.$

J’observe d’abord que, si l’on suppose $H=h,$ on devra avoir $l=1\,;$ et en effet les équations (6) et (7) subsisteront, sauf que les seconds membres seront multipliés par ${\frac {1}{l}}\,;$ les équations (9) également, sauf que les seconds membres seront multipliés par ${\frac {1}{l^{2}}}\,;$ et enfin les équations (10), sauf que les seconds membres seront multipliés par ${\frac {1}{l}}.$ Si l’on veut que les équations du mouvement ne soient pas altérées par la transformation