On a d’ailleurs :
et
(4)
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ce qui peut s’écrire :
(4bis)
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Il semble d’abord que l’indétermination subsiste, puisque nous n’avons fait aucune hypothèse sur la valeur de , c’est-à-dire sur la rapidité de la transmission ; et que d’ailleurs est fonction de ; mais il est aisé de voir que qui figurent seuls dans nos formules, ne dépendent pas de .
On voit que si les deux corps sont simplement animés d’une translation commune, la force qui agit sur le corps attiré est normale à un ellipsoïde ayant pour centre le corps attirant.
Pour aller plus loin il faut chercher les invariants du groupe de Lorentz.
Nous savons que les substitutions de ce groupe (en supposant ) sont les substitutions linéaires qui n’altèrent pas la forme quadratique
Posons d’autre part :
nous voyons que la transformation de Lorentz aura pour effet de faire subir à et à les mêmes substitutions linéaires qu’à
Regardons
comme les coordonnées de 3 points P, P′, P″ dans l’espace à 4 dimensions. Nous voyons que la transformation de Lorentz n’est qu’une rotation de cet espace autour de l’origine, regardée comme fixe. Nous n’aurons donc pas d’autres invariants distincts que les 6 distances des 3 points P, P′, P″ entre eux et à l’origine, ou, si l’on aime