Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/41

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mieux, que les 2 expressions :


ou les 4 expressions de même forme qu’on en déduit en permutant d’une manière quelconque les 3 points P, P′, P″.

Mais ce que nous cherchons ce sont les fonctions des 10 variables (2) qui sont des invariants ; nous devons donc, parmi les combinaisons de nos 6 invariants, rechercher celles qui ne dépendent que de ces 10 variables, c’est-à-dire celles qui sont homogènes de degré 0 tant par rapport à , que par rapport à Il nous restera ainsi 4 invariants distincts, qui sont :

(5)

Occupons-nous maintenant des transformations subies par les composantes de la force ; reprenons les équations (11) du § 1, qui se rapportent non à la force que nous considérons ici, mais à la force rapportée à l’unité de volume. Posons d’ailleurs :


nous verrons que ces équations (11) peuvent s’écrire () :

(6)


de sorte que subissent la même transformation que Les invariants du groupe seront donc


Mais ce n’est pas de que nous avons besoin, c’est de avec


Nous voyons que

Donc la transformation de Lorentz agira sur de la même manière que sur avec cette différence que ces expressions seront en outre multipliées par

De même elle agira sur de la même manière que sur avec cette différence que ces expressions seront en outre multipliées par le même facteur :

Considérons alors comme les coordonnées d’un quatrième point