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mieux, que les 2 expressions :

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},\qquad \ x\delta x+y\delta y+z\delta z-t\delta t,$

ou les 4 expressions de même forme qu’on en déduit en permutant d’une manière quelconque les 3 points P, P′, P″.

Mais ce que nous cherchons ce sont les fonctions des 10 variables (2) qui sont des invariants ; nous devons donc, parmi les combinaisons de nos 6 invariants, rechercher celles qui ne dépendent que de ces 10 variables, c’est-à-dire celles qui sont homogènes de degré 0 tant par rapport à $\delta x,\ \delta y,\ \delta z,\ \delta t$, que par rapport à $\delta _{1}x,\ \delta _{1}y,\ \delta _{1}z,\ \delta _{1}t.$ Il nous restera ainsi 4 invariants distincts, qui sont :

(5)

$\sum x^{2}-t^{2},\quad {\frac {t-\sum x\xi }{\sqrt {1-\sum \xi ^{2}}}},\quad {\frac {t-\sum x\xi _{1}}{\sqrt {1-\sum \xi _{1}^{2}}}},\quad {\frac {1-\sum \xi \xi _{1}}{\sqrt {\left(1-\sum \xi ^{2}\right)\left(1-\sum \xi _{1}^{2}\right)}}}.$

Occupons-nous maintenant des transformations subies par les composantes de la force ; reprenons les équations (11) du § 1, qui se rapportent non à la force $X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1},$ que nous considérons ici, mais à la force $X,\ Y,\ Z$ rapportée à l’unité de volume. Posons d’ailleurs :

$T=\sum X\xi \,;$

nous verrons que ces équations (11) peuvent s’écrire ($l=1$) :

(6)

${\begin{cases}X^{\prime }=k(X+\epsilon T),\quad &T^{\prime }=k(T+\epsilon X),\\\\Y^{\prime }=Y,&Z^{\prime }=Z\ ;\end{cases}}$

de sorte que $X,\ Y,\ Z,\ T$ subissent la même transformation que $x,\ y,\ z,\ t.$ Les invariants du groupe seront donc

$\sum X^{2}-T^{2},\quad \sum Xx-Tt,\quad \sum X\delta x-T\delta t,\quad \sum X\delta _{1}x-T\delta _{1}t.$

Mais ce n’est pas de $X,\ Y,\ Z$ que nous avons besoin, c’est de $X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1},$ avec

$T_{1}=\sum X_{1}\xi .$

Nous voyons que

${\frac {X_{1}}{X}}={\frac {Y_{1}}{Y}}={\frac {Z_{1}}{Z}}={\frac {T_{1}}{T}}={\frac {1}{\rho }}.$

Donc la transformation de Lorentz agira sur $X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1},\ T_{1}$ de la même manière que sur $X,\ Y,\ Z,\ T,$ avec cette différence que ces expressions seront en outre multipliées par

${\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {1}{k(1+\xi \epsilon )}}={\frac {\delta t}{\delta t^{\prime }}}.$

De même elle agira sur $\xi ,\ \eta ,\ \zeta ,1,$ de la même manière que sur $\delta x,\ \delta y,\ \delta z,\ \delta t,$ avec cette différence que ces expressions seront en outre multipliées par le même facteur :

${\frac {\delta t}{\delta t^{\prime }}}={\frac {1}{k(1+\xi \epsilon )}}.$

Considérons alors $X,\ Y,\ Z,\ T{\sqrt {-1}}$ comme les coordonnées d’un quatrième point