Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/6

On retrouve ainsi les formules :

$\rho ^{\prime }\xi ^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}(\rho \xi +\epsilon \rho ),\quad \rho ^{\prime }\eta ^{\prime }={\frac {1}{l^{3}}}\rho \eta ,\quad \rho ^{\prime }\zeta ^{\prime }={\frac {1}{l^{3}}}\rho \zeta \ ;$

mais la valeur de $\rho '$ diffère.

Il importe de remarquer que les formules (4) et (4^bis) satisfont à la condition de continuité

${\frac {d\rho ^{\prime }}{dt^{\prime }}}+\sum {\frac {d\rho ^{\prime }\xi ^{\prime }}{dx^{\prime }}}=0.$

Soit en effet $\lambda$ une quantité indéterminée et $D$ le déterminant fonctionnel de

(5)

$t+\lambda \rho ,\ x+\lambda \rho \xi ,\ x+\lambda \rho \eta ,\ z+\lambda \rho \zeta$

par rapport à $t,$ $x,$ $y,$ $z.$ On aura :

$D=D_{0}+D_{1}\lambda +D_{2}\lambda ^{2}+D_{3}\lambda ^{3}+D_{4}\lambda ^{4}.$

avec $D_{0}=1,\,D_{1}={\frac {d\rho }{dt}}+\sum {\frac {d\rho \xi }{dx}}=0.$

Soit $\lambda '=l^{2}\lambda ,$ nous voyons que les 4 fonctions

(5bis)

$t^{\prime }+\lambda ^{\prime }\rho ^{\prime },\ x^{\prime }+\lambda ^{\prime }\rho ^{\prime }\xi ^{\prime },\ y^{\prime }+\lambda ^{\prime }\rho ^{\prime }\eta ^{\prime },\ z^{\prime }+\lambda ^{\prime }\rho ^{\prime }\zeta ^{\prime }$

sont liées aux fonctions (5) par les mêmes relations linéaires que les variables anciennes aux variables nouvelles. Si donc on désigne par $D^{\prime }$ le déterminant fonctionnel des fonctions (5^bis) par rapport aux variables nouvelles, on aura :

$D^{\prime }=D,\ D^{\prime }=D_{0}^{\prime }+D_{1}^{\prime }\lambda ^{\prime }+\ldots +D_{4}^{\prime }\lambda ^{\prime 4},$

d’où :

$D_{0}^{\prime }=D_{0}=1,\ D_{1}^{\prime }=l^{-2}D_{1}=0={\frac {d\rho ^{\prime }}{dt^{\prime }}}+\sum {\frac {d\rho ^{\prime }\xi ^{\prime }}{dx^{\prime }}}.\;\;\;{\text{C. Q. F. D.}}$

Avec l’hypothèse de Lorentz, cette condition ne serait pas remplie, puisque $\rho ^{\prime }$ n’a pas la même valeur.

Nous définirons les nouveaux potentiels, vecteur et scalaire, de façon à satisfaire aux conditions

(6)

$\square ^{\prime }\psi ^{\prime }=-\rho ^{\prime },\quad \square ^{\prime }F^{\prime }=-\rho ^{\prime }\xi ^{\prime }.$

Nous tirerons ensuite de là :

(7)

$\psi ^{\prime }={\frac {k}{l}}(\psi +\epsilon F),\ F^{\prime }={\frac {k}{l}}(F+\epsilon \psi ),\ G^{\prime }={\frac {1}{l}}G,\ H^{\prime }={\frac {1}{l}}H.$

Ces formules diffèrent notablement de celles de Lorentz, mais la divergence ne porte en dernière analyse que sur les définitions.

Nous choisirons les nouveaux champs électrique et magnétique de façon à satisfaire aux équations :

(8)

$f^{\prime }=-{\frac {dF^{\prime }}{dt^{\prime }}}-{\frac {d\psi ^{\prime }}{dx^{\prime }}},\quad \alpha ^{\prime }={\frac {dH^{\prime }}{dy^{\prime }}}-{\frac {dG^{\prime }}{dz^{\prime }}}.$