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Si alors nous posons :

$\square ^{\prime }=\sum {\frac {d^{2}}{dx^{\prime 2}}}-{\frac {d^{2}}{dt^{\prime 2}}},$

il viendra :

$\square ^{\prime }=\square l^{-2}.$

Considérons une sphère entraînée avec l’électron dans un mouvement de translation uniforme et soit :

$(x-\xi t)^{2}+(y-\eta t)^{2}+(z-\zeta t)^{2}=r^{2}$

l’équation de cette sphère mobile dont le volume sera ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

La transformation la changera en un ellipsoïde, dont il est aisé de trouver l’équation. On déduit aisément en effet des équations (3) :

(3bis)

$x={\frac {k}{l}}(x^{\prime }-\epsilon t^{\prime }),\ t={\frac {k}{l}}(t^{\prime }-\epsilon x^{\prime }),\ y={\frac {y^{\prime }}{l}},\ z={\frac {z^{\prime }}{l}}.$

L’équation de l’ellipsoïde devient ainsi :

$k^{2}(x^{\prime }-\epsilon t^{\prime }-\xi t^{\prime }+\epsilon \xi x^{\prime })^{2}+(y^{\prime }-\eta kt^{\prime }+\eta k\epsilon x^{\prime })^{2}+(z^{\prime }-\zeta kt^{\prime }+\zeta k\epsilon x^{\prime })^{2}=l^{2}r^{2}.$

Cet ellipsoïde se déplace avec un mouvement uniforme ; pour $t'=0,$ il se réduit à

$k^{2}x^{\prime 2}(1+\xi \epsilon )^{2}+(y^{\prime }+\eta k\epsilon x^{\prime })^{2}+(z^{\prime }+\zeta k\epsilon x^{\prime })^{2}=l^{2}r^{2}$

et a pour volume :

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}{\frac {l^{3}}{k(1+\xi \epsilon )}}.$

Si l’on veut que la charge d’un électron ne soit pas altérée par la transformation et si l’on appelle $\rho '$ la nouvelle densité électrique, il viendra :

(4)

$\rho ^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}(\rho +\epsilon \rho \xi ).$

Que seront maintenant les nouvelles vitesses $\xi ',$ $\eta ',$ $\zeta '\ ;$ on devra avoir :

$\xi ^{\prime }={\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d(x+\epsilon t)}{d(t+\epsilon x)}}={\frac {\xi +\epsilon }{1+\epsilon \xi }},$ $\eta ^{\prime }={\frac {dy^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {dy}{kd(t+\epsilon x)}}={\frac {\eta }{k(1+\epsilon \xi )}},\quad \zeta ^{\prime }={\frac {\zeta }{k(1+\epsilon \xi )}},$

d’où :

(4bis)

$\rho ^{\prime }\xi ^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}(\rho \xi +\epsilon \rho ),\quad \rho ^{\prime }\eta ^{\prime }={\frac {1}{l^{3}}}\rho \eta ,\quad \rho ^{\prime }\zeta ^{\prime }={\frac {1}{l^{3}}}\rho \zeta .$

C’est ici que je dois signaler pour la première fois une divergence avec Lorentz.

Lorentz pose (à la différence des notations près) (loco citato, page 813, formules 7 et 8) :

$\rho ^{\prime }={\frac {1}{kl^{3}}}\rho ,\quad \xi ^{\prime }=k^{2}(\xi +\epsilon ),\quad \eta ^{\prime }=k\eta ,\quad \zeta ^{\prime }=k\zeta .$