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CAS DE DEUX TUBES TOURBILLONNAIRES

une progression géométrique de raison $\left({\tfrac {\mathrm {R} '}{\mathrm {R} }}\right)^{2}.$ La série ${\tfrac {1}{\mathrm {OA} _{-n}}}$ est donc convergente.

2^o Les termes relatifs aux tubes $\mathrm {B}$ affectés d’indices négatifs. Un raisonnement identique au précédent fait voir que la série ${\tfrac {1}{\mathrm {OB} _{-n}}}$ est convergente.

3° Groupons deux à deux les tubes affectés d’indices positifs :

$\mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0}-\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},-\ldots \mathrm {B} _{n},\mathrm {B} _{n}.$

Retranchons membre à membre l’égalité (2) de l’égalité (1), il vient :

(3)

$\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}=\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} _{0}\left({\frac {\mathrm {R} }{\mathrm {R} '}}\right)^{2n}.$

Les tubes $\mathrm {A} _{0}$ $\mathrm {B} _{0},$ $\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n},$ $\mathrm {B} _{n}$ ont des moments deux à deux égaux et de signe contraire. La somme géométrique des vitesses dues à un groupe $\left(\mathrm {A} _{n},\mathrm {B} _{n}\right)$ est du même ordre de grandeur que $\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}\ ;$ elle décroît donc suivant une progression de raison $\left({\tfrac {\mathrm {R} '}{\mathrm {R} }}\right)^{2}.$ et tend vers 0 quand $n$ augmente indéfiniment ; la série est donc convergente.

Les trois séries partielles étant convergentes, il en sera de même de la série totale.

84. De plus, je dis que les circonférences $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ sont des lignes de courant. Cela est évident ; en effet, tous les tubes sont conjugués deux à deux par rapport au cercle $\mathrm {C}$ et au cercle $\mathrm {C} '.$ Assemblons les tubes par groupes de deux conjugués par rapport à $\mathrm {C} \ ;$ la vitesse due à chaque groupe sera tangente à $\mathrm {C} ,$ la vitesse totale sera par conséquent tangente elle-même à $\mathrm {C} .$ Démonstration analogue pour $\mathrm {C} '.$