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Soient (fig. 27) $\mathrm {AB}$ une de ces droites ; $\mathrm {P} ,$ un point quelconque sur cette droite, ayant pour coordonnées $x',$ $y',$ $z'\ ;$ $\mathrm {P} ',$ un point de la droite infiniment voisin dont les coordonnées sont $x',$ $y',$ $z'+dz'.$

Si $\delta$ est la charge par unité de longueur, la charge de $\mathrm {PP'}$ sera $\delta dz'$ et le potentiel de la droite $\mathrm {AB}$ en un point tel que $\mathrm {M} (x,y,z)$ sera :

$\mathrm {V} =\int _{-l}^{+l}{\frac {\delta dz'}{\mathrm {MP} }}.$

Soit $\rho$ la distance du point $\mathrm {M}$ à la droite

${\begin{aligned}&{\overline {\mathrm {MP} }}^{2}=\rho ^{2}+(z-z')^{2}\\&\mathrm {V} =\int _{-l}^{+l}{\frac {\delta dz'}{\sqrt {\rho ^{2}+(z-z')^{2}}}}.\end{aligned}}$

Posons :

$z'=\zeta +z\quad \alpha =l-z\quad \beta =l+z$

$\mathrm {V} =\int _{-\beta }^{\alpha }{\frac {\delta d\zeta }{\sqrt {\rho ^{2}+\zeta ^{2}}}}$

${\begin{aligned}\mathrm {V} &=\delta \log {\frac {\alpha +{\sqrt {\rho ^{2}+\alpha ^{2}}}}{-\beta +{\sqrt {\rho ^{2}+\beta ^{2}}}}}\\&=\delta \log {\frac {\left(\alpha +{\sqrt {\rho ^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\left(-\beta +{\sqrt {\rho ^{2}+\beta ^{2}}}\right)}{\rho ^{2}}},\end{aligned}}$

ou, comme $\alpha$ et $\beta$ sont très grands vis-à-vis de $\rho ,$ on a approximativement :

$\mathrm {V} =\delta \log {\frac {4\alpha \beta }{\rho ^{2}}}=2\delta \log {\frac {2{\sqrt {l^{2}-z^{2}}}}{\rho }}.$