et l’équation
(8)
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La relation (1) exprime que
et
sont les dérivées d’une même fonction
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=-{\frac {d\psi }{dy}}\quad v={\frac {d\psi }{dx}}\\vdx-udy=d\psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f4950ce3994d451988b031d22a19b87eee2724)
Substituons ces valeurs de
et
dans (2), il vient :
![{\displaystyle \Delta \psi =2\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddefb49ee9a65661d8b6c3f60530caebb7040cd)
Par conséquent à l’extérieur de
![{\displaystyle \Delta \psi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2b5edd451e1b5be6267fc3cc265b382efb1e3d)
et il y a une fonction des vitesses. La courbe
doit être une ligne de courant, c’est-à-dire que le long de cette ligne
![{\displaystyle {\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73ebc78fe77878fc681b3f400972ad82039f70b)
ou
![{\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}dx+{\frac {d\psi }{dy}}{dy}=d\psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288d1501bbc57535e7da8f0f1794110df8f540d2)
Le long de
on a donc
![{\displaystyle \psi ={\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe500591ebfb6948dc82f44509f7bc59931180e7)
Comme
n’est défini que par ses dérivées, on peut toujours s’arranger de manière que cette constante soit nulle.
95. Remplaçons maintenant dans le tube
chaque tube infiniment délié par une droite électrisée de longueur
la