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SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS DE LAGRANGE

puisque ${\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}dt$ représente l’accroissement de la densité $\rho$ pendant le temps $dt$. Donc il faut que :

(6)

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho w)}{\partial z}}=0\ ;$

c’est l’équation de continuité dans le système d’Euler. Elle peut s’écrire :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\Sigma \rho {\frac {\partial u}{\partial x}}+\Sigma u{\frac {\partial \rho }{\partial x}}=0\ ;$

ou en tenant compte de la relation (2)

${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \Sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

Seulement, sous cette dernière forme, elle renferme les deux espèces de dérivées.

4. Simplification des équations de Lagrange. — Les équations de Lagrange sont susceptibles de se simplifier, quand on fait les hypothèses nécessaires, comme nous le verrons, pour l’application du principe de Helmholtz.

Dans ce cas, les forces $\mathrm {X} ,\mathrm {Y} ,\mathrm {Z}$ admettent un potentiel $\mathrm {V}$ :

$\mathrm {X} ={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}\quad \mathrm {Y} ={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}\quad \mathrm {Z} ={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}.$

Quel que soit le fluide, la densité $\rho$, la pression $p$ et la température $\mathrm {T}$ sont liées par une relation, telle que :

$\rho =f\left(p,\mathrm {T} \right).$

Pour que le théorème soit applicable, il faut que $\rho$ soit fonc-