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CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE HELMHOLTZ
Je dis que l’équation des surfaces que nous venons de définir est :
![{\displaystyle \psi -\mathrm {T} ={\textrm {const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7efd0f35a6e0345aa6a0eddbb70f23d6a12638)
Pour le démontrer, il suffit de montrer que
est constant
d’une part sur les lignes de courant, d’autre part sur les lignes
de tourbillon.
1o Sur les lignes de courant. — Ces lignes sont les trajectoires des molécules ; nous suivons une molécule dans son
mouvement ; avec les notations de Lagrange,
seul est
variable, donc :
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\psi &={\frac {d\psi }{dt}}dt\\d\mathrm {T} &={\frac {d\mathrm {T} }{dt}}dt\\d\mathrm {T} &=udu+vdv+wdw=d{\frac {du}{dt}}+v{\frac {dv}{dt}}+w{\frac {dw}{dt}}\\d\psi &=u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=d{\frac {du}{dt}}+v{\frac {dv}{dt}}+w{\frac {dw}{dt}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ea4b8e7ef370bf21845221e734eaab5a5a7a88)
car, d’après les équations de Lagrange [4] :
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}={\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad {\textrm {etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eda162b61432b09aa31f2118140645948059ecd)
Donc
![{\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {d\mathrm {T} }{dt}}\quad {\textrm {ou}}\quad d\psi -d\mathrm {T} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c4b8df58e0d4acfee3b2949f5d2ddbfbfdf0d3)
(1)
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2o Sur les lignes de tourbillon. — Ces lignes ont pour
équations :
![{\displaystyle {\frac {dx}{\xi }}={\frac {dy}{\eta }}={\frac {dz}{\zeta }}=d\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d283feb54324ac33825b54559be67625712026)
ou :
![{\displaystyle dx=\xi d\alpha \quad dy=\eta d\alpha \quad dz=\zeta d\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79211e6467914f7394437169b4d440ab4e9dd3df)