56
DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE
que ces contours forment les axes de trois tubes tourbillonnaires
et
Chacun des contours engendre une fonction
Soient
et
les fonctions correspondant respectivement
à
et
Je dis que :
![{\displaystyle \varphi =\varphi '+\varphi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30828211755c253a710e6b5e00f692f25b174a6)
En effet, par les trois courbes nous pouvons faire passer une certaine surface, laquelle détermine deux coupures. La fonction
admet les deux coupures ;
n’admet que la coupure (1), et
la coupure (2). Pour établir le théorème, il suffit de
montrer qu’on a identiquement :
![{\displaystyle \varphi -\varphi '-\varphi ''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b7519817477a3670428d8be3713751e0a1df4c)
Cette fonction vérifie l’équation de Laplace
![{\displaystyle \Delta \left(\varphi -\varphi '-\varphi ''\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0875c7e5f807b706a73d723e42c9f1ab15e49c)
puisque :
![{\displaystyle \Delta \varphi =\Delta \varphi '=\Delta \varphi ''=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7585b4185b7b964162237e197a73bb0090c992fd)
elle s’annule à l’infini, de même que les fonctions partielles
Il est permis de lui appliquer le théorème de Green [34], si elle est uniforme, c’est-à-dire si l’intégrale
![{\displaystyle \int d\varphi -\int d\varphi '-\int d\varphi ''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c4119510603a4c7d1bce0a1cf529bb67b7fcbf)
le long d’un contour fermé quelconque. Supposons que la courbe d’intégration soit de première sorte, c’est-à-dire ne rencontre aucune coupure ; alors les trois intégrales partielles
sont nulles. Si la courbe franchit la coupure (1) seulement,
est égal au moment du tube
c’est-à-dire à 1 par hypothèse.
est égal au moment du tube
qui est aussi 1.