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INTÉGRATION DES ÉQUATIONS
68. D’une manière générale, nous obtiendrons donc les équations suivantes :
(1)
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Sous cette forme on reconnaît les équations canoniques d’Hamilton au facteur
près ; pour les ramener exactement à la forme canonique, il suffirait de prendre comme variables :
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\,\ldots ,x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ec9dcac34394b7f658713954e05112ca660144)
et
![{\displaystyle m_{1}y_{1},m_{2}y_{2},\,\ldots ,m_{n}y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9592643830c58d8ebaab2f0f9afe877078fc979)
69. Intégration des équations. — L’intégration des équations (1) est possible quand il existe seulement trois tubes tourbillonnaires, comme nous allons le montrer.
70. Théorème. — Nous pouvons retrouver d’abord le théorème de la conservation du centre de gravité. En effet, la fonction
dépend seulement des distances
et seulement, par
conséquent, des différences
etc. Donc :
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{2}}}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{n}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ee87308537e5ade9bf6905274146950fbb3ca7)
soit :
(3)
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ou :
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![{\displaystyle \sum m_{k}x_{k}={\textrm {const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8eb301aae862b38b5b335fbbe484f79f42c6d92)
De même :
![{\displaystyle \sum m_{k}y_{k}={\textrm {const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8af7af22cb8ed0ebc7fc91f971427820ad9f10)
Le centre de gravité du système reste donc fixe.