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THÉORÈME DES FORCES VIVES

naires, la vitesse sur la circonférence de rayon $\mathrm {R}$ à pour valeur :

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {R} }}$

aux infiniment petits près du second ordre.

Supposons que $\mathrm {M}$ soit nul : alors la vitesse $(u,v)$ est infiniment petite du second ordre ; la force vive élémentaire est du quatrième ordre, et la force vive totale sera finie ;

3^o Ceci suppose encore que les tubes tourbillonnaires ne sont pas infiniment déliés ; sans quoi la vitesse au voisinage de ces tubes serait infiniment grande du premier ordre et la force vive infiniment grande du second.

72. Nous admettrons que la force vive est finie. Il suffit pour cela, comme nous venons de le voir : 1^o que le liquide soit limité par deux plans parallèles perpendiculaires à $Oz\ ;$ 2^o que la somme des moments de tous les tubes soit nulle ; 3^o que les tubes aient une section finie.

Considérons deux petits éléments de surface $d\omega$ et $d\omega '$ correspondant aux valeurs $\zeta$ et $\zeta '$ du tourbillon. Soient $2\pi dm,$ $2\pi dm'$ les moments des tubes élémentaires limités à ces éléments ;

${\begin{aligned}2\zeta d\omega &=2\pi dm\\2\zeta 'd\omega '&=2\pi dm'.\end{aligned}}$

Le terme de $\mathrm {P}$ correspondant à ces éléments sera :

$dmdm'\log \rho$

en appelant $\rho$ la distance des deux éléments, et :

$\mathrm {P} =\iint dmdm'\log \rho ,$