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Appliquons la relation connue

$\int \alpha \,F\,d\omega =\int {\frac {df}{dx}}d\tau ,$

en y faisant successivement F égal à $p\xi ,\ p\eta ,\ p\zeta$ ; nous obtenons, en remplaçant dans les intégrales triples $d\tau$ par $\nu \,dm$,

${\begin{aligned}&\int \alpha \,p\,\xi \,d\omega =\int \xi {\frac {dp}{dx}}\nu \,dm+\int p{\frac {d\xi }{dx}}\nu \,dm,\\&\int \beta \,p\,\eta \,d\omega =\int \eta {\frac {dp}{dy}}\nu \,dm+\int p{\frac {d\eta }{dy}}\nu \,dm,\\&\int \gamma \,p\,\zeta \,d\omega =\int \zeta {\frac {dp}{dz}}\nu \,dm+\int p{\frac {d\zeta }{dz}}\nu \,dm,\end{aligned}}$

et, par suite,

${\begin{aligned}d\tau =-\int {\left(\xi {\frac {dp}{dx}}+\eta {\frac {dp}{dy}}+\zeta {\frac {dp}{dz}}\right)\nu \,dm}&\\-\int \left({\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}\right)\nu \,dm&\end{aligned}}$

ou

$d\tau =-\int {\left(\xi {\frac {dp}{dx}}+\eta {\frac {dp}{dy}}+\zeta {\frac {dp}{dz}}\right)\nu \,dm}-\int p\,d\nu \,dm$,

puisque

${\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}={\frac {d\nu }{\nu }}.$

Si maintenant nous remplaçons les dérivées partielles de p par leurs valeurs déduites des équations du mouvement, nous aurons

(2) $\left\{{\begin{aligned}d\tau =\int \left(\xi {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\eta {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+\zeta {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\right)dm&\\+\int g\,\zeta \,dm-\int p\,d\nu \,dm&.\end{aligned}}\right.$