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89.

Calculons dU, dV, dW.

L’énergie interne u de l’unité de masse est une fonction de la pression et du volume spécifique ; pour un élément de volume très petit ces deux quantités peuvent être considérées comme constantes, et par conséquent nous pouvons écrire, comme dans le cas d’un fluide en repos,

$du=dq-A\,p\,d\nu$

pour la variation de l’énergie interne rapportée à l’unité de masse ; nous aurons donc, en calories,

$(3)\qquad dU=\int du\,dm=\int dq\,dm-A\int p\,d\nu \,dm.$

La variation de V est

$dV=\int g\,dz\,dm,$

ou, puisque nous avons désigné par ζ l’accroissement de l’ordonnée z,

$(4)\qquad dV=\int g\,\zeta \,dm.$

La variation de l’énergie cinétique a pour valeur

$dW=\int dm\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)dt\,;$

mais

${\frac {dx}{dt}}dt=\xi ,\quad {\frac {dy}{dt}}dt=\eta ,\quad {\frac {dz}{dt}}dt=\zeta \,;$

par conséquent,

$(5)\qquad dW=\int dm\left(\xi {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\eta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\zeta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right).$