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extérieures qui agissent sur chacun des points. Les équations du mouvement de l'un d'eux sont

${\begin{aligned}m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}&=\mathrm {X} _{i},\\m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}&=\mathrm {Y} _{i},\\m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}&=\mathrm {Z} _{i}.\end{aligned}}$

La demi-force vive du système a pour valeur

$\mathrm {W} =\sum {\frac {m_{i}}{2}}\left[\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{i}}{dt}}\right)^{2}\right].$

En dérivant par rapport au temps, il vient

${\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\sum m_{i}\left({\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right),$

et, en remplaçant dans cette expression les dérivées secondes par rapport au temps par leurs valeurs tirées des équations du mouvement, on obtient

${\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\sum \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right),$

ou

$d\mathrm {W} =\sum (X_{i}dx_{i}+Y_{i}dy_{i}+Z_{i}dz_{i}).$

Le second membre de cette égalité représente le travail de toutes les forces appliquées au système quand leurs points d'application subissent des déplacements infiniment petits. De là le théorème suivant : La variation de la demi-