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force vive d’un système est égale à la somme des travaux accomplis par toutes les forces du système pendant le déplacement considéré.

7. La conservation de l’énergie

Bornons-nous au cas d’un système soumis seulement à des forces intérieures et supposons que ces forces admettent une fonction des forces, c’est-à-dire que $\mathrm {X} _{1}$, $\mathrm {Y} _{1}$,… soient les dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’une même fonction $-\mathrm {V}$ de ces coordonnées ; nous avons alors

$\mathrm {X} _{i}=-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}_{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=-{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}_{i},\qquad \mathrm {Z} _{i}=-{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}_{i}.$

Mais, $\mathrm {V}$ ne dépendant pas explicitement du temps, par hypothèse, sa dérivée par rapport à $t$ est

${\frac {d\mathrm {V} }{dt}}=\sum \left({\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right);$

et par conséquent

$d\mathrm {V} =-\sum (\mathrm {X} _{i}dx_{i}+\mathrm {Y} _{i}dy_{i}+\mathrm {Z} _{i}dz_{i}).$

Il résulte de cette expression que la variation de la fonction des forces est égale, au signe près, à celle de la demi-force vive ; nous avons donc

$d\mathrm {W} +d\mathrm {V} =0,\,$

et en intégrant

$\mathrm {W} +\mathrm {V} ={\rm {{const.}\,}}$