l’attestation, par ce témoin, qu’il tient de T
, que le no
est sorti de A ; et il s’agit de déterminer la probabilité que ce numéro soit effectivement celui qui a été extrait de cette urne.
Soient
la probabilité de l’événement observé, dans l’hypothèse C
de la sortie du no
de A, et
, dans l’hypothèse C
de l’extraction d’un autre no
. En désignant toujours par
et
les nombres de boules no
et no
contenus dans A, et par
le nombre total de boules que cette urne renferme, la fraction
sera, à priori, la chance de la sortie du no
, et
celle de la sortie du no
. Par la règle du no 34, nous aurons
![{\displaystyle \varpi _{n}={\frac {a_{n}y_{x}}{a_{n}y_{x}+\sum a_{i}y'_{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58241b1a162ad0347d668bd10cf15284cc49d73)
,
pour la probabilité de l’hypothèse C
; la somme
s’étendant à tous les indices
, depuis
jusqu’à
, excepté
. On verra tout à l’heure que l’expression de
est indépendante de
; et la somme des valeurs de
, excepté
, étant
, cette valeur de
est la même chose que
![{\displaystyle \varpi _{n}={\frac {a_{n}y_{x}}{a_{n}y_{x}+(\mu -a_{n})y'_{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceeb54ecfd4d3f5ea712c5673caec107318d8145)
.
On en déduira la probabilité
de toute autre hypothèse C
, en multipliant
, par le rapport de
à
.
Le problème se réduit donc à la détermination des inconnues
et
en fonctions de
. Pour cela, je représente par
la probabilité que le témoin T
ne nous trompe pas, de sorte que
soit la probabilité qu’il nous trompe, involontairement ou à dessein. Le témoin T
annoncera la sortie du no
de A, s’il ne nous trompe pas et que T
, ait aussi annoncé l’extraction de ce n° ; combinaison dont la probabilité est le produit
, dans l’hypothèse C
, en observant que
exprime à l’égard de T
, ce que
représente relativement à T
. Il pourra encore annoncer la sortie du no
, s’il nous trompe, et qu’en même temps T
ait annoncé celle d’un autre numéro ; dans l’hypothèse C
, la probabilité de cette combinaison est le produit
; mais la chance que
sera le numéro qu’annoncera T